A. parede externa de uma tubulação transportando vapor tem a temperatura \mathrm{T}_{\mathrm{e}}=100^{\circ} \mathrm{C} \mathrm{e} \mathrm{um} raio externo \mathrm{r}_{\mathrm{c}}=4 \mathrm{~cm}. A temperatura ambiente é \mathrm{T}_{\infty}=15^{\circ} \mathrm{C} e o coeficiente de transferência de calor entre a superficie do cilindro e o ambiente é \mathrm{h}=10 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}. Você gostaria de colocar uma camada de isolamento de poliestireno ( \mathrm{k}=0,157 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ) com 1 cm de espessura em volta da tubulação nua. Irá este projeto ter um efeito de isolamento térmico? Em outras palavras, irá a taxa de transferência de calor do vapor para a atmosfera diminuir se você instalar a camada de poliestireno? Para verificar a sua resposta, calcule a taxa de transferência de calor para o tubo nu

Passo 1

Vou explicar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
  • Dados:
    • Temperatura da parede externa do tubo: \mathrm{T}_{e}=100^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura ambiente: \mathrm{T}_{\infty}=15^\circ\mathrm{C}.
    • Raio externo do tubo nu (superfície exposta): \mathrm{r}_{c}=4\\ \mathrm{cm}=0,04\\ \mathrm{m}.
    • Coeficiente de convecção entre superfície e ar: h=10\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\!\cdot\!\mathrm{K}.
    • Proposto: adicionar camada de poliestireno com condutividade térmica k=0,157\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\!\cdot\!\mathrm{K} e espessura 1\\ \mathrm{cm}=0,01\\ \mathrm{m} (logo raio externo com isolamento será r_2=0,04+0,01=0,05\\ \mathrm{m}).
  • O enunciado pede:
    1. Responder se a instalação da camada de isolamento reduzirá a taxa de transferência de calor do vapor para a atmosfera (isto é, se terá efeito de isolamento térmico).
    2. Para verificar, calcular a taxa de transferência de calor para o tubo nu.
  • Observação prática: o enunciado não fornece comprimento do tubo, então vou calcular a taxa por unidade de comprimento, isto é, por metro de tubo ( L=1\\ \mathrm{m}). Essa é uma prática comum e permite comparar diretamente efeito do isolamento.

Passo 2

Qual método vamos usar e porquê (explicação didática, passo a passo).
  • Ideia geral: modelar as resistências térmicas em série entre o fluido (vapor) e o ambiente. Para o tubo nu há apenas resistência por convecção na superfície externa. Com isolamento teremos resistência por condução através do material cilíndrico do isolamento em série com a convecção no lado externo.
  • Fórmulas essenciais (com explicação do que cada símbolo significa):
    • Convecção na superfície cilíndrica:
      • Lei (intuitiva): a taxa de calor por unidade de comprimento entre superfície e ar é dada por q = h A_s (T_s - T_\infty), onde
        • q é a taxa de calor por comprimento [ \mathrm{W/m}] (como usamos L=1\\ \mathrm{m}, podemos tratar q como \mathrm{W} por metro),
        • h é o coeficiente de convecção [ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\!\cdot\!\mathrm{K}],
        • A_s é a área da superfície cilíndrica por unidade de comprimento: A_s = 2\pi r\cdot L. Com L=1, fica A_s=2\pi r.
      • Em termos de resistência térmica convectiva, escreve-se R_{\mathrm{conv}}=\frac{1}{h A_s}.A unidade de R_{\mathrm{conv}} é \mathrm{K}/\mathrm{W} por metro.
    • Condução radial através de um casquilho cilíndrico (isolante):
      • A partir da Lei de Fourier para geometria cilíndrica obtém-se para taxa por comprimento: q=\frac{2\pi k L (T_{r_1}-T_{r_2})}{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}.Rearranjando, isso corresponde a uma resistência térmica de condução R_{\mathrm{cond}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}{2\pi k L},onde
        • k é a condutividade térmica do material [ \mathrm{W}/\mathrm{m}\!\cdot\!\mathrm{K}],
        • r_1 e r_2 são raios interno e externo do casquilho,
        • L é o comprimento considerado (aqui L=1\\ \mathrm{m}).
  • Montagem das resistências:
    • Tubo nu: só R_{\mathrm{conv}} com r=r_c.
    • Tubo com isolamento: R_{\mathrm{total}} = R_{\mathrm{cond}}(r_1=r_c,\\ r_2=r_2) + R_{\mathrm{conv}}(r=r_2).
  • A taxa de calor por metro é sempre
    q = \frac{\Delta T}{R_{\mathrm{total}}}
    com \Delta T = T_e - T_\infty.

Passo 3

Calcular a taxa de calor para o tubo nu (tarefa pedida explicitamente). Vamos calcular passo a passo.
  • Primeiro, diferença de temperatura:
    \Delta T = T_e - T_\infty = 100^\circ\mathrm{C}-15^\circ\mathrm{C}=85\\ \mathrm{K}.
  • Área de superfície por metro para o tubo nu (raio r_c=0,04\\ \mathrm{m}):
    A_{c}=2\pi r_c L = 2\pi(0,04)(1)=0,08\pi\\ \mathrm{m}^2.
  • Resistência convectiva do tubo nu:
    R_{\mathrm{conv,nu}}=\frac{1}{h A_c}=\frac{1}{10\cdot 0,08\pi}=\frac{1}{0,8\pi}.
    Vamos calcular numericamente:
    0,08\pi \approx 0,251327\\ \mathrm{m}^2,
R_{\mathrm{conv,nu}} \approx \frac{1}{2,51327}\approx 0,397887\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}\\ \text{(por metro)}.
  • Taxa de transferência de calor por metro para o tubo nu:
    q_{\text{nu}}=\frac{\Delta T}{R_{\mathrm{conv,nu}}}=\frac{85}{0,397887}\approx 213,83\\ \mathrm{W/m}.
    Arredondando razoavelmente (duas casas decimais): q_{\text{nu}}\approx 213,8\\ \mathrm{W/m}.

Passo 4

Calcular a taxa com o isolamento (para verificar se a taxa diminui) — passo a passo numérico.
  • Raios:
    r_1=r_c=0,04\\ \mathrm{m},\qquad r_2=r_c+0,01=0,05\\ \mathrm{m}.
  • Resistência de condução através do poliestireno por metro:
    R_{\mathrm{cond}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}{2\pi k L} =\frac{\ln(0,05/0,04)}{2\pi(0,157)(1)}.
    Calculemos:
    \ln\!\left(\frac{0,05}{0,04}\right)=\ln(1,25)\approx 0,2231436,
2\pi k \approx 2\pi(0,157)\approx 0,98696,
R_{\mathrm{cond}}\approx\frac{0,2231436}{0,98696}\approx 0,22613\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}.
  • Resistência convectiva na nova superfície externa (raio r_2=0,05\\ \mathrm{m}): A_{2}=2\pi r_2 L = 2\pi(0,05)(1)=0,1\pi\\ \mathrm{m}^2\approx 0,314159\\ \mathrm{m}^2,
R_{\mathrm{conv,2}}=\frac{1}{h A_2}=\frac{1}{10\cdot 0,1\pi}=\frac{1}{\pi}\approx 0,31831\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}.
  • Resistência total com isolamento:
    R_{\mathrm{total}}=R_{\mathrm{cond}}+R_{\mathrm{conv,2}}\approx 0,22613+0,31831=0,54444\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}.
  • Taxa de calor com isolamento:
    q_{\text{iso}}=\frac{\Delta T}{R_{\mathrm{total}}}=\frac{85}{0,54444}\approx 156,24\\ \mathrm{W/m}.
  • Comparação (redução absoluta e percentual):
    \Delta q = q_{\text{nu}}-q_{\text{iso}}\approx 213,83-156,24=57,59\\ \mathrm{W/m},
\text{redução percentual}=\frac{\Delta q}{q_{\text{nu}}}\times 100\%\approx\frac{57,59}{213,83}\times100\%\approx 26,9\%.çã

Passo 5

Interpretação final e incentivo rápido.
  • O resultado mostra que instalar 1\\ \mathrm{cm} de poliestireno reduz a perda de calor do tubo: a taxa por metro cai de aproximadamente 213,8\\ \mathrm{W/m} para 156,2\\ \mathrm{W/m}. Ou seja, houve uma redução de cerca de 57,6\\ \mathrm{W/m} (aprox. 27\%).
  • Conclusão prática: Sim — o isolamento tem efeito térmico significativo mesmo com apenas 1\\ \mathrm{cm} de espessura. Se quiser mais redução, aumentar a espessura do isolamento aumenta a resistência de condução e reduz ainda mais a perda; outra forma seria diminuir h (por exemplo, cobrindo para reduzir convecção) ou usar material com menor k.
  • Força aí — você já viu o raciocínio principal e como montar as resistências; na prova faça o mesmo: listar dados, escrever resistências, calcular área, e dividir \Delta T pela resistência total. Dá pra fazer sem dor de cabeça!

Resposta

Sim — a taxa de transferência de calor diminui com o isolamento.
Taxa para o tubo nu (por metro): q_{\text{nu}}\approx 213,8\\ \mathrm{W/m}

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