Para os campos de velocidade dados a seguir, determine:
I. Se o campo do escoamento é uni, bi ou tridimensional, e o motivo.
II. Se o escoamento é permanente ou não, e o motivo.
As quantidades V=a x^2 imath+b x jmath e são constantes.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado pede. A gente tem um campo de velocidade
V(x,y,z,t) = a,x^2,hatimath + b,x,hatjmath
onde e são constantes.
O conteúdo aqui é classificação de escoamento:
1. Se é uni, bi ou tridimensional (que significa em quantas direções o fluido “se mexe” e de quantas variáveis espaciais ele depende).
2. Se é permanente (steady) ou não (unsteady), isto é, se muda no tempo.
Pra resolver, a gente vai observar:
- Quantos componentes do vetor são não-nulos.
- De quais variáveis espaciais e de tempo esses componentes dependem.

Passo 2

Determinar se é uni, bi ou tridimensional.
  1. Componentes do vetor: , aqui
    • ,
    • ,
    • .
  2. Dependência espacial: ambos e dependem só de , e é zero (não há componente em ).
  3. Definição:
    • Escoamento unidimensional: só um componente não zero que depende de uma única variável espacial.
    • Bidimensional: dois componentes não zero (ou que dependem de duas variáveis espaciais, ou ainda dependendo apenas de uma variável mas existindo em duas direções).
    • Tridimensional: três componentes não zero ou dependendo de .
  4. Nosso caso:
    • Temos dois componentes diferentes de zero ( e ), então já fica entre uni e bi.
    • Apesar de dependerem apenas de , eles ocupam as direções e .
      -> Conclusão: é um escoamento bidimensional.

Passo 3

Determinar se é permanente (steady) ou não.
  1. Conceito: um escoamento é permanente se não há variação explícita no tempo. Matematicamente, partial vec Vpartial t = 0 deve valer.
  2. Olha o campo: .
    • Não tem nenhuma dependência de .
    • Logo , , .
  3. Conclusão: o escoamento é permanente (steady).

Resposta

I. O escoamento é bidimensional, pois só há dois componentes não nulos ( e ).
II. O escoamento é permanente, pois o campo de velocidade não depende de .

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