Em um canal, com 20 metros de largura, foi instalada uma ponte. A profundidade do canal é de 1,2 metro e a instalação da ponte criou obstruções que correspondem a
da largura do canal. Sabe-se que pelo canal passa uma vazão de
. Defina o acréscimo de profundidade que a instalação da ponte causará no canal. Considere um coeficiente de obstrução de 2,5 e despreze perdas de carga localizadas.
Passo 1
Vou organizar o que o enunciado dá e o que pede, com calma e sem pânico.
- Dados do enunciado:
- Largura original do canal:
. - Profundidade original do canal:
. - A ponte cria obstruções correspondentes a
da largura do canal. (Vou usar isso para achar a largura efetiva sob a ponte.) - Vazão que passa pelo canal:
. - Coeficiente de obstrução:
. - Desprezar demais perdas localizadas (ou seja, considerar apenas a perda associada à obstrução que é modelada pelo coeficiente dado).
- Largura original do canal:
- O que o problema pede:
- Definir o acréscimo de profundidade que a instalação da ponte causará no canal — ou seja, quanto a lâmina d’água sobe (∆h) por causa da obstrução.
- Observação importante (tirada diretamente dos dados): a largura efetiva sob a ponte será menor que
por causa dos de obstrução — vou calcular isso no próximo passo.
Passo 2
Ideia física e fórmula que vamos usar (explicadinha passo a passo).
Quando há uma obstrução local numa corrente livre, ela causa uma perda de carga localizada . Essa perda pode ser modelada por uma fórmula simples do tipo
Quando há uma obstrução local numa corrente livre, ela causa uma perda de carga localizada
onde:
-
é a perda de carga local (em metros) — aqui essa perda corresponde ao acréscimo de nível que aparece a montante (porque a água sobe até que a energia adicional compense a perda); -
é o coeficiente de obstrução (adimensional) dado pelo enunciado ( ); -
é a velocidade média do escoamento na seção estreitada (em ); -
é a aceleração da gravidade ( ).
Explicação intuitiva: para vencer a perda de energia criada pela obstrução, o nível da água a montante sobe até que a diferença de energia por unidade de peso (aumento de cota + energia cinética) compense
. Como o problema pede somente o acréscimo de profundidade e pede para desprezar outras perdas, podemos identificar esse acréscimo
com
. Assim:
Para usar essa fórmula precisamos da velocidade
na passagem sob a ponte. Essa velocidade é obtida pela continuidade (vazão constante):
onde:
-
é a vazão ( ); -
é a largura efetiva na seção obstruída; -
é a profundidade nessa seção.
Uma simplificação prática (e comum em prova): a variação de profundidade
será relativamente pequena comparada à profundidade inicial, então podemos estimar
usando a profundidade inicial
. Ou seja, calculamos a velocidade na constrição assumindo
e, a partir dessa velocidade, estimamos
. Essa aproximação evita um acoplamento implícito (equação não linear) e é apropriada quando
é pequeno — se fosse grande teria que iterar. Vou justificar depois numericamente que
fica pequeno, então a aproximação é consistente.
Passo 3
Calcular a largura efetiva sob a ponte (peguei essa informação do enunciado: obstruções =
da largura).
Passo 4
Calcular a velocidade na seção obstruída usando a profundidade original
(continuidade).
Agora calculo o número:
Passo 5
Aplicar a fórmula da perda de carga local para obter o acréscimo de profundidade
. Lembrando que
e
.
Faço as contas passo a passo:
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais) temos
. Para checar a consistência da aproximação:
(16%), ou seja, não é desprezível mas ainda pequeno o suficiente para que a estimativa pelo método direto seja aceitável num exercício de prova; se quisesse maior precisão poderia iterar recalculando
com
.
Passo 6
Conclusão rápida e incentivo: a instalação da ponte eleva a lâmina d’água em torno de
. É um valor plausível — a água sobe algumas dezenas de centímetros por causa da obstrução. Se você quiser, eu mostro a iteração (recalcular
usando
e repetir) para obter valor mais exato; mas para prova essa metodologia e esse resultado costumam ser aceitos.