Em um canal, com 20 metros de largura, foi instalada uma ponte. A profundidade do canal é de 1,2 metro e a instalação da ponte criou obstruções que correspondem a 15 \% da largura do canal. Sabe-se que pelo canal passa uma vazão de 25 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. Defina o acréscimo de profundidade que a instalação da ponte causará no canal. Considere um coeficiente de obstrução de 2,5 e despreze perdas de carga localizadas.

Passo 1

Vou organizar o que o enunciado dá e o que pede, com calma e sem pânico.
  • Dados do enunciado:
    • Largura original do canal: 20\\ \mathrm{m}.
    • Profundidade original do canal: 1,2\\ \mathrm{m}.
    • A ponte cria obstruções correspondentes a 15\% da largura do canal. (Vou usar isso para achar a largura efetiva sob a ponte.)
    • Vazão que passa pelo canal: 25\\ \mathrm{m^{3}/s}.
    • Coeficiente de obstrução: 2,5.
    • Desprezar demais perdas localizadas (ou seja, considerar apenas a perda associada à obstrução que é modelada pelo coeficiente dado).
  • O que o problema pede:
    • Definir o acréscimo de profundidade que a instalação da ponte causará no canal — ou seja, quanto a lâmina d’água sobe (∆h) por causa da obstrução.
  • Observação importante (tirada diretamente dos dados): a largura efetiva sob a ponte será menor que 20\\ \mathrm{m} por causa dos 15\% de obstrução — vou calcular isso no próximo passo.

Passo 2

Ideia física e fórmula que vamos usar (explicadinha passo a passo).
Quando há uma obstrução local numa corrente livre, ela causa uma perda de carga localizada h_L. Essa perda pode ser modelada por uma fórmula simples do tipo
h_L = k \,\frac{v^2}{2g},
onde:
  • h_L é a perda de carga local (em metros) — aqui essa perda corresponde ao acréscimo de nível que aparece a montante (porque a água sobe até que a energia adicional compense a perda);
  • k é o coeficiente de obstrução (adimensional) dado pelo enunciado ( k=2,5);
  • v é a velocidade média do escoamento na seção estreitada (em \mathrm{m/s});
  • g é a aceleração da gravidade ( g\approx 9,81\\ \mathrm{m/s^2}).
Explicação intuitiva: para vencer a perda de energia criada pela obstrução, o nível da água a montante sobe até que a diferença de energia por unidade de peso (aumento de cota + energia cinética) compense h_L. Como o problema pede somente o acréscimo de profundidade e pede para desprezar outras perdas, podemos identificar esse acréscimo \Delta h com h_L. Assim:
\Delta h = k\,\frac{v^2}{2g}.
Para usar essa fórmula precisamos da velocidade v na passagem sob a ponte. Essa velocidade é obtida pela continuidade (vazão constante):
Q = b\,y\,v \quad\Longrightarrow\quad v=\frac{Q}{b\,y},
onde:
  • Q é a vazão ( 25\\ \mathrm{m^3/s});
  • b é a largura efetiva na seção obstruída;
  • y é a profundidade nessa seção.
Uma simplificação prática (e comum em prova): a variação de profundidade \Delta h será relativamente pequena comparada à profundidade inicial, então podemos estimar v usando a profundidade inicial y_0=1,2\\ \mathrm{m}. Ou seja, calculamos a velocidade na constrição assumindo y=y_0 e, a partir dessa velocidade, estimamos \Delta h. Essa aproximação evita um acoplamento implícito (equação não linear) e é apropriada quando \Delta h é pequeno — se fosse grande teria que iterar. Vou justificar depois numericamente que \Delta h fica pequeno, então a aproximação é consistente.

Passo 3

Calcular a largura efetiva sob a ponte (peguei essa informação do enunciado: obstruções = 15\% da largura).
b_1 = 20\\ \mathrm{m}\times(1-0,15)=20\times 0,85=17\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular a velocidade na seção obstruída usando a profundidade original y_0=1,2\\ \mathrm{m} (continuidade).
v_1=\frac{Q}{b_1\,y_0}=\frac{25}{17\times 1,2}.
Agora calculo o número:
17\times 1,2 = 20,4,
v_1=\frac{25}{20,4}\approx 1,22549\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Aplicar a fórmula da perda de carga local para obter o acréscimo de profundidade \Delta h. Lembrando que k=2,5 e g=9,81\\ \mathrm{m/s^2}.
\Delta h = k\,\frac{v_1^2}{2g} = 2,5\cdot\frac{(1,22549)^2}{2\cdot 9,81}.
Faço as contas passo a passo:
v_1^2 \approx 1,5014,
2g = 19,62,
\frac{v_1^2}{2g}\approx \frac{1,5014}{19,62}\approx 0,0766,
\Delta h = 2,5\times 0,0766 \approx 0,1915\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais) temos \Delta h\approx 0,19\\ \mathrm{m}. Para checar a consistência da aproximação: \Delta h/y_0\approx 0,1915/1,2\approx 0,16 (16%), ou seja, não é desprezível mas ainda pequeno o suficiente para que a estimativa pelo método direto seja aceitável num exercício de prova; se quisesse maior precisão poderia iterar recalculando v_1 com y_0+\Delta h.

Passo 6

Conclusão rápida e incentivo: a instalação da ponte eleva a lâmina d’água em torno de 0,19\\ \mathrm{m}. É um valor plausível — a água sobe algumas dezenas de centímetros por causa da obstrução. Se você quiser, eu mostro a iteração (recalcular v_1 usando y_0+\Delta h e repetir) para obter valor mais exato; mas para prova essa metodologia e esse resultado costumam ser aceitos.

Resposta

0,19\\ \mathrm{m}

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