(PORTO, 2006, adaptado de 13.8) Em um canal retangular longo, com 50 cm de largura e revestido em concreto em más condições, com declividade de 0,0047 \mathrm{~m} / \mathrm{m}, sabe-se que por ele passa uma vazão. Colocando-se no canal um vertedor retangular de parede espessa de 10 cm de altura, a altura d’água imediatamente antes do vertedor passou a ser de y=250 \mathrm{~mm} e após o vertedor, formou-se um ressalto. Determinar:
a) O valor de n ;
b) A vazão no canal;
c) As alturas conjugadas do ressalto;
d) O tipo de curva de remanso a montante do vertedor.

Passo 1

Dados fornecidos (vou listar tudo bem claro):
\begin{aligned} &\text{Largura do canal: } b=50\\ \text{cm}=0{,}50\\ \text{m},\\\ &\text{Declividade do leito: } S_0=0{,}0047\\ \text{(m/m)},\\\ &\text{Vertedor de parede espessa com altura: } h_w=10\\ \text{cm}=0{,}10\\ \text{m},\\\ &\text{Altura d'água imediatamente antes do vertedor: } y_{up}=250\\ \text{mm}=0{,}250\\ \text{m},\\\ &\text{Observação do enunciado: "após o vertedor, formou-se um ressalto".} \end{aligned}áçãó
Perguntas a responder:
a) Determinar o valor de n (Manning).
b) Determinar a vazão Q no canal.
c) Determinar as alturas conjugadas do ressalto.
d) Identificar o tipo de curva de remanso (tipo de curva de água lenta) a montante do vertedor.

Passo 2

Conceitos físicos que vamos usar (explicando como funciona, passo a passo):
  • Quando se instala um vertedor de “parede espessa” e a lâmina imediatamente antes do vertedor é conhecida, muitas vezes o escoamento sobre o vertedor atinge condição crítica sobre o dorso do vertedor. Para um canal retangular, a descarga crítica por unidade de largura para uma lâmina crítica \,y_c é dada por:
Q = b\,\sqrt{g}\,y_c^{3/2},
onde b é a largura do canal, g a gravidade e y_c a profundidade crítica. Esta expressão vem da condição de energia mínima (escoamento crítico) em seção retangular — explicação rápida: em regime crítico a energia específica mínima corresponde a E_c=\tfrac{3}{2}y_c, e a relação entre Q e y_c pode ser arranjada para a forma acima.
  • A fórmula de Manning para vazão em escoamento uniforme num canal retangular é:
Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S_0^{1/2},
com A=b\,y área molhada, e R=\dfrac{A}{P} raio hidráulico, P=b+2y perímetro molhado. Aqui n é o coeficiente de rugosidade de Manning que queremos encontrar.
  • Ideia usada para achar n: o enunciado dá a lâmina imediatamente antes do vertedor y_{up}=0{,}250\\ \text{m}. A lâmina sobre o dorso do vertedor (cota livre acima do dorso) é y_{over}=y_{up}-h_w. Se o escoamento sobre o vertedor se encontra na condição crítica sobre o dorso (hipótese usual para vertedor de parede espessa / dorso que promove escoamento crítico), então podemos calcular a descarga crítica pela expressão anterior usando y_c=y_{over}. Essa descarga deve ser a mesma que a sustentada pelo canal naquele trecho imediato antes do vertedor — ou seja, a mesma Q deve satisfazer a fórmula de Manning com y=y_{up}. Igualando as duas expressões conseguimos resolver para n.
  • Depois de obter Q e as profundidades críticas, usamos a relação de conjugadas (ressalto) para canal retangular:
y_2=\frac{y_1}{2}\left(\sqrt{1+8\,Fr_1^2}-1\right),
onde y_1 é a profundidade antes do ressalto (lado rápido / supercrítico), y_2 a profundidade após o ressalto (lado lento / subcrítico) e
Fr_1=\frac{V_1}{\sqrt{g\,y_1}}=\frac{Q}{b\,y_1\sqrt{g\,y_1}}
é o número de Froude do escoamento na seção 1. Comentário didático: se Fr_1=1 (escoamento crítico), a fórmula dá y_2=y_1 (caso degenerado); para Fr_1>1 obtém-se o par distinto de profundidades conjugadas.
  • Para classificar o tipo de curva de remanso a montante do vertedor, comparamos a profundidade normal y_n com a profundidade crítica y_c. Se a instalação do vertedor provoca elevação da lâmina até um valor entre y_c e y_n em canal de declividade suave (mild slope), a curva é do tipo M2. Vou seguir essa linha e mostrar os cálculos que confirmam isso.

Passo 3

Calcular a lâmina sobre o dorso do vertedor (profundidade disponível para escoamento crítico):
y_{over}=y_{up}-h_w=0{,}250-0{,}10=0{,}150\\ \text{m}.
Vou assumir que o escoamento sobre o dorso do vertedor se encontra em condição crítica com y_c=y_{over}=0{,}150\\ \text{m}. Agora calculamos a vazão crítica que passa por esse estrangulamento (canal retangular, largura b):
Q_c = b\,\sqrt{g}\,y_c^{3/2}.
Calculemos numericamente (uso g=9{,}81\\ \text{m/s}^2):
\begin{aligned} \sqrt{g}&=\sqrt{9{,}81}=3{,}13209195,\\\ y_c^{3/2}&=(0{,}150)^{3/2}=0{,}150\sqrt{0{,}150}=0{,}150\cdot0{,}3872983\approx0{,}0580948,\\\ Q_c&=0{,}50\cdot 3{,}13209195\cdot 0{,}0580948\approx 0{,}09093\\ \text{m}^3/\text{s}. \end{aligned}
Portanto a vazão que passa sobre o vertedor na hipótese crítica é
Q\approx 0{,}09093\\ \text{m}^3/\text{s}.

Passo 4

Agora igualamos a vazão de Manning, com y=y_{up}=0{,}250\\ \text{m}, à vazão crítica anterior para encontrar n.
Calculemos as quantidades geométricas para y=0{,}250\\ \text{m}:
\begin{aligned} A&=b\,y=0{,}50\cdot 0{,}250=0{,}125\\ \text{m}^2,\\\ P&=b+2y=0{,}50+2\cdot0{,}250=1{,}00\\ \text{m},\\\ R&=\frac{A}{P}=\frac{0{,}125}{1{,}00}=0{,}125\\ \text{m}. \end{aligned}
Calcule R^{2/3}:
R^{2/3}=(0{,}125)^{2/3}=\left(\frac{1}{8}\right)^{2/3}=\frac{1}{4}=0{,}25.
A raiz da declividade é
S_0^{1/2}=\sqrt{0{,}0047}\approx 0{,}068583.
Logo o fator geométrico A R^{2/3} S_0^{1/2} vale
A R^{2/3} S_0^{1/2}=0{,}125\cdot 0{,}25\cdot 0{,}068583\approx 0{,}0021438.
A equação de Manning escrita isolando n é
Q=\frac{1}{n}\,A R^{2/3} S_0^{1/2}\quad\Rightarrow\quad n=\frac{A R^{2/3} S_0^{1/2}}{Q}.
Substituindo Q=Q_c\approx0{,}09093\\ \text{m}^3/\text{s}:
n=\frac{0{,}0021438}{0{,}09093}\approx 0{,}02358.
Arredondando com significado prático:
n\approx 0{,}0236.
Comentário didático: esse valor é relativamente alto (concreto em más condições costuma apresentar n maior do que o concreto novo), então é coerente com o enunciado “revestido em concreto em más condições”.

Passo 5

Confirmação da vazão Q com o n encontrado (checagem rápida):
Q=\frac{1}{n}A R^{2/3}S_0^{1/2}=\frac{0{,}0021438}{0{,}02358}\approx0{,}09093\\ \text{m}^3/\text{s},
idêntico ao Q_c usado — auto-consistente.

Passo 6

Determinar as alturas conjugadas do ressalto.
Explicação: as alturas conjugadas se aplicam entre a profundidade no trecho supercrítico imediatamente antes do ressalto ( y_1) e a profundidade subcrítica logo após o ressalto ( y_2), relacionadas pela fórmula (para canal retangular)
y_2=\frac{y_1}{2}\left(\sqrt{1+8\,Fr_1^2}-1\right), \qquad Fr_1=\frac{Q}{b\,y_1\sqrt{g\,y_1}}.
No nosso caso, a lâmina crítica sobre o dorso do vertedor foi y_c=0{,}150\\ \text{m} e, pela hipótese de escoamento crítico sobre o dorso, a seção imediatamente após o dorso (logo na saída) tem profundidade crítica y_1=y_c. Para essa profundidade crítica o número de Froude vale exatamente Fr_1=1. Substituindo Fr_1=1 na fórmula das conjugadas temos:
y_2=\frac{y_1}{2}\left(\sqrt{1+8\cdot 1^2}-1\right)=\frac{y_1}{2}\left(\sqrt{9}-1\right)=\frac{y_1}{2}(3-1)=y_1.
Isso significa que, de acordo com a relação teórica das seções conjugadas, a profundidade conjugada de um escoamento crítico é igual à própria profundidade crítica — o que é o caso degenerado (não existe ressalto clássico se a seção de entrada do ressalto é exatamente crítica). Em termos práticos: se a saída do vertedor fosse exatamente crítica, não haveria um salto hidráulico clássico com y_2\neq y_1; para haver um ressalto clássico é necessário Fr_1>1 (supercrítico estritamente) antes do ressalto. Como o enunciado afirma que “formou-se um ressalto”, isso indica que na prática pequenas perturbações e condições reais procedentes do escoamento tornam o escoamento ligeiramente supercrítico após o vertedor; porém, com os dados fornecidos e a hipótese de escoamento crítico sobre o dorso, a solução teórica dá profundidades conjugadas iguais.
Portanto, segundo o cálculo idealizado com os dados dados:
y_1=y_c=0{,}150\\ \text{m},\qquad y_2=y_c=0{,}150\\ \text{m}.

Passo 7

Classificação do tipo de curva de remanso a montante do vertedor.
Explicação didática: para classificar a curva de remanso (perfil de água lento) consideramos a inclinação do leito e comparamos a profundidade normal y_n com a profundidade crítica y_c. No nosso procedimento, nós usamos y_{up}=0{,}250\\ \text{m} como a profundidade imediata a montante e igualamos essa profundidade àquela que entra na equação de Manning — ou seja, a profundidade “normal” (condição uniforme local) usada no cálculo de n. Assim y_n=0{,}250\\ \text{m} e y_c=0{,}150\\ \text{m}. Como y_n>y_c e a declividade é do tipo “suave” (mild slope), a classificação das curvas é a família M (mild): quando a superfície d’água entre y_c e y_n temos perfil do tipo M2 se a superfície aumenta em direção ao obstáculo (isto é, a montante forma um remanso que sobe até o nível superior). No nosso caso o vertedor provoca subida da lâmina até y_{up}=0{,}250\\ \text{m}, que está entre y_c e y_n, logo a curva a montante do vertedor é do tipo M2.
Comentário motivador: o M2 é a curva típica quando o escoamento a montante está entre as profundidades crítica e normal em um canal de declividade suave — é a curva de remanso mais comum upstream de um obstáculo que eleva o nível de água.

Resposta

a) n\approx 0{,}0236.
b) Q\approx 0{,}09093\\ \text{m}^3/\text{s}.
c) y_1=0{,}150\\ \text{m} e y_2=0{,}150\\ \text{m} (caso teórico degenerado com escoamento crítico; para ressalto clássico seria necessário Fr_1>1).
d) Curva de remanso a montante: tipo M2.

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