(PORTO, 2006, adaptado de 13.8) Em um canal retangular longo, com 50 cm de largura e revestido em concreto em más condições, com declividade de
, sabe-se que por ele passa uma vazão. Colocando-se no canal um vertedor retangular de parede espessa de 10 cm de altura, a altura d’água imediatamente antes do vertedor passou a ser de
e após o vertedor, formou-se um ressalto. Determinar:
a) O valor de n ;
b) A vazão no canal;
c) As alturas conjugadas do ressalto;
d) O tipo de curva de remanso a montante do vertedor.
a) O valor de n ;
b) A vazão no canal;
c) As alturas conjugadas do ressalto;
d) O tipo de curva de remanso a montante do vertedor.
Passo 1
Dados fornecidos (vou listar tudo bem claro):
Perguntas a responder:
a) Determinar o valor de (Manning).
b) Determinar a vazão no canal.
c) Determinar as alturas conjugadas do ressalto.
d) Identificar o tipo de curva de remanso (tipo de curva de água lenta) a montante do vertedor.
a) Determinar o valor de
b) Determinar a vazão
c) Determinar as alturas conjugadas do ressalto.
d) Identificar o tipo de curva de remanso (tipo de curva de água lenta) a montante do vertedor.
Passo 2
Conceitos físicos que vamos usar (explicando como funciona, passo a passo):
- Quando se instala um vertedor de “parede espessa” e a lâmina imediatamente antes do vertedor é conhecida, muitas vezes o escoamento sobre o vertedor atinge condição crítica sobre o dorso do vertedor. Para um canal retangular, a descarga crítica por unidade de largura para uma lâmina crítica
é dada por:
onde
é a largura do canal,
a gravidade e
a profundidade crítica. Esta expressão vem da condição de energia mínima (escoamento crítico) em seção retangular — explicação rápida: em regime crítico a energia específica mínima corresponde a
, e a relação entre
e
pode ser arranjada para a forma acima.
- A fórmula de Manning para vazão em escoamento uniforme num canal retangular é:
com
área molhada, e
raio hidráulico,
perímetro molhado. Aqui
é o coeficiente de rugosidade de Manning que queremos encontrar.
- Ideia usada para achar
: o enunciado dá a lâmina imediatamente antes do vertedor . A lâmina sobre o dorso do vertedor (cota livre acima do dorso) é . Se o escoamento sobre o vertedor se encontra na condição crítica sobre o dorso (hipótese usual para vertedor de parede espessa / dorso que promove escoamento crítico), então podemos calcular a descarga crítica pela expressão anterior usando . Essa descarga deve ser a mesma que a sustentada pelo canal naquele trecho imediato antes do vertedor — ou seja, a mesma deve satisfazer a fórmula de Manning com . Igualando as duas expressões conseguimos resolver para . - Depois de obter
e as profundidades críticas, usamos a relação de conjugadas (ressalto) para canal retangular:
onde
é a profundidade antes do ressalto (lado rápido / supercrítico),
a profundidade após o ressalto (lado lento / subcrítico) e
é o número de Froude do escoamento na seção 1. Comentário didático: se
(escoamento crítico), a fórmula dá
(caso degenerado); para
obtém-se o par distinto de profundidades conjugadas.
- Para classificar o tipo de curva de remanso a montante do vertedor, comparamos a profundidade normal
com a profundidade crítica . Se a instalação do vertedor provoca elevação da lâmina até um valor entre e em canal de declividade suave (mild slope), a curva é do tipo M2. Vou seguir essa linha e mostrar os cálculos que confirmam isso.
Passo 3
Calcular a lâmina sobre o dorso do vertedor (profundidade disponível para escoamento crítico):
Vou assumir que o escoamento sobre o dorso do vertedor se encontra em condição crítica com
. Agora calculamos a vazão crítica que passa por esse estrangulamento (canal retangular, largura
):
Calculemos numericamente (uso
):
Portanto a vazão que passa sobre o vertedor na hipótese crítica é
Passo 4
Agora igualamos a vazão de Manning, com
, à vazão crítica anterior para encontrar
.
Calculemos as quantidades geométricas para
:
Calcule
:
A raiz da declividade é
Logo o fator geométrico
vale
A equação de Manning escrita isolando
é
Substituindo
:
Arredondando com significado prático:
Comentário didático: esse valor é relativamente alto (concreto em más condições costuma apresentar
maior do que o concreto novo), então é coerente com o enunciado “revestido em concreto em más condições”.
Passo 5
Confirmação da vazão
com o
encontrado (checagem rápida):
idêntico ao
usado — auto-consistente.
Passo 6
Determinar as alturas conjugadas do ressalto.
Explicação: as alturas conjugadas se aplicam entre a profundidade no trecho supercrítico imediatamente antes do ressalto (
) e a profundidade subcrítica logo após o ressalto (
), relacionadas pela fórmula (para canal retangular)
No nosso caso, a lâmina crítica sobre o dorso do vertedor foi
e, pela hipótese de escoamento crítico sobre o dorso, a seção imediatamente após o dorso (logo na saída) tem profundidade crítica
. Para essa profundidade crítica o número de Froude vale exatamente
. Substituindo
na fórmula das conjugadas temos:
Isso significa que, de acordo com a relação teórica das seções conjugadas, a profundidade conjugada de um escoamento crítico é igual à própria profundidade crítica — o que é o caso degenerado (não existe ressalto clássico se a seção de entrada do ressalto é exatamente crítica). Em termos práticos: se a saída do vertedor fosse exatamente crítica, não haveria um salto hidráulico clássico com
; para haver um ressalto clássico é necessário
(supercrítico estritamente) antes do ressalto. Como o enunciado afirma que “formou-se um ressalto”, isso indica que na prática pequenas perturbações e condições reais procedentes do escoamento tornam o escoamento ligeiramente supercrítico após o vertedor; porém, com os dados fornecidos e a hipótese de escoamento crítico sobre o dorso, a solução teórica dá profundidades conjugadas iguais.
Portanto, segundo o cálculo idealizado com os dados dados:
Passo 7
Classificação do tipo de curva de remanso a montante do vertedor.
Explicação didática: para classificar a curva de remanso (perfil de água lento) consideramos a inclinação do leito e comparamos a profundidade normal
com a profundidade crítica
. No nosso procedimento, nós usamos
como a profundidade imediata a montante e igualamos essa profundidade àquela que entra na equação de Manning — ou seja, a profundidade “normal” (condição uniforme local) usada no cálculo de
. Assim
e
. Como
e a declividade é do tipo “suave” (mild slope), a classificação das curvas é a família M (mild): quando a superfície d’água entre
e
temos perfil do tipo M2 se a superfície aumenta em direção ao obstáculo (isto é, a montante forma um remanso que sobe até o nível superior). No nosso caso o vertedor provoca subida da lâmina até
, que está entre
e
, logo a curva a montante do vertedor é do tipo M2.
Comentário motivador: o M2 é a curva típica quando o escoamento a montante está entre as profundidades crítica e normal em um canal de declividade suave — é a curva de remanso mais comum upstream de um obstáculo que eleva o nível de água.
Resposta
a)
b)
c) e
(caso teórico degenerado com escoamento crítico; para ressalto clássico seria necessário
).
d) Curva de remanso a montante: tipo M2.
b)
c)
d) Curva de remanso a montante: tipo M2.