Um canal retangular, em terra com vegetação rasteira nos taludes e fundo, com declividade de fundo Io =30 \mathrm{~cm} / \mathrm{km}, foi dimensionado para uma determinada vazão de projeto Qo, tendo-se chegado a uma seção com largura \mathrm{b}=22,5 metros e altura de água yo =1,40 \mathrm{~m}. Nesse canal foi instalada uma ponte que produz uma obstrução de
um quarto de sua largura, devido aos seus pilares. Obtenha, para um coeficiente de obstrução igual a 3, o acréscimo de profundidade que a ponte causará no canal.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o acréscimo de profundidade causado pela ponte:
\begin{aligned} &\text{Declividade do fundo: } I_0 = 30\\ \text{cm/km} = 0{,}00030.\\\ &\text{Largura do canal (antes da ponte): } b = 22{,}5\\ \text{m}.\\\ &\text{Altura de água projetada (antes da ponte): } y_0 = 1{,}40\\ \text{m}.\\\ &\text{A ponte obstrui } \tfrac{1}{4}\\ \text{da largura do canal (logo a largura livre sob a ponte é } b_1 = \tfrac{3}{4}b\text{).}\\\ &\text{Coeficiente de obstrução (coeficiente de perda local): } k = 3.\\\ &\text{Pede-se: o acréscimo de profundidade } \Delta y \text{ no canal causado pela ponte.} \end{aligned}áéçãé

Passo 2

Vou explicar o método que vou usar (sem pedir nada a mais): a ponte provoca uma perda de carga localizada na passagem do escoamento; uma forma prática de modelar essa perda é usar a expressão
h_L = k\,\frac{V_1^2}{2g},
onde h_L é a perda de carga localizada, k é o coeficiente de perda (aqui dado como 3), V_1 é a velocidade na seção contraída (sob a ponte) e g é a gravidade. Na aproximação prática usada em muitos projetos, a elevação do espelho d’água upstream (o acréscimo \Delta y) é aproximadamente igual a essa perda de carga, isto é,
\Delta y \approx h_L.
Para calcular V_1 preciso da vazão Q. A vazão de projeto Q_0 corresponde à condição uniforme que gerou y_0; essa vazão pode ser obtida pela fórmula de Manning para escoamento uniforme:
Q_0 = \frac{1}{n}\,A_0\,R_0^{2/3}\,S^{1/2},
onde A_0 é a área molhada inicial, R_0 o raio hidráulico inicial, S a declividade (aqui I_0) e n o coeficiente de Manning. O enunciado descreve um canal em terra com vegetação rasteira; nesses casos é usual adotar, para cálculos práticos, n\approx 0{,}035. Vou usar esse valor tabulado (se no seu curso usarem outro n, o procedimento é o mesmo; o número final muda um pouco). Com Q_0 calculado podemos obter V_1 = Q_0/(b_1 y_0) na hipótese inicial de que a altura inicial y_0 serve para estimar a velocidade através da abertura; em seguida calculamos h_L e tomamos \Delta y\approx h_L. Essa é a aproximação prática comumente usada em exercícios deste tipo.

Passo 3

Calcular as grandezas geométricas da seção original:
A_0 = b\,y_0 = 22{,}5 \times 1{,}40 = 31{,}5\\ \text{m}^2.
Perímetro molhado:
P_0 = b + 2y_0 = 22{,}5 + 2\times 1{,}40 = 25{,}3\\ \text{m}.
Raio hidráulico:
R_0 = \frac{A_0}{P_0} = \frac{31{,}5}{25{,}3} \approx 1{,}2451\\ \text{m}.

Passo 4

Calcular a vazão de projeto Q_0 usando Manning e n=0{,}035:
Q_0 = \frac{1}{n}\,A_0\,R_0^{2/3}\,S^{1/2}.
Substituindo números:
\begin{aligned} R_0^{2/3} &\approx 1{,}2451^{2/3} \approx 1{,}1576,\\[4pt] S^{1/2} &= \sqrt{0{,}00030} \approx 0{,}0173205,\\[4pt] A_0 R_0^{2/3} &= 31{,}5 \times 1{,}1576 \approx 36{,}467,\\[4pt] Q_0 &= \frac{36{,}467 \times 0{,}0173205}{0{,}035} \approx 18{,}05\\ \text{m}^3/\text{s}. \end{aligned}]

Passo 5

Velocidade de aproximação (antes da ponte) com a seção original:
V_0 = \frac{Q_0}{A_0} = \frac{18{,}05}{31{,}5} \approx 0{,}5737\\ \text{m/s}.

Passo 6

Largura livre sob a ponte (após obstrução de um quarto da largura):
b_1 = \frac{3}{4}b = 0{,}75\times 22{,}5 = 16{,}875\\ \text{m}.
Velocidade através da abertura (assumindo, para estimativa inicial, que a profundidade na abertura é aproximadamente y_0):
V_1 \approx \frac{Q_0}{b_1 y_0} = \frac{18{,}05}{16{,}875\times 1{,}40} \approx 0{,}7642\\ \text{m/s}.

Passo 7

Calcular a perda de carga localizada usando k=3 e g=9{,}81\\ \text{m/s}^2:
h_L = k\,\frac{V_1^2}{2g} = 3\cdot\frac{(0{,}7642)^2}{2\cdot 9{,}81}.
Primeiro o quadrado:
V_1^2 \approx 0{,}7642^2 \approx 0{,}5839.
Logo
h_L \approx 3\cdot\frac{0{,}5839}{19{,}62} \approx 3\cdot 0{,}02977 \approx 0{,}0893\\ \text{m}.

Passo 8

Interpretação física e aproximação final: a perda de carga h_L representa a energia que precisa ser “recomposta” pelo aumento do nível d’água a montante da obstrução. Na aproximação usual para esse tipo de estimativa o acréscimo de profundidade \Delta y é tomado igual a h_L. Portanto:
\Delta y \approx h_L \approx 0{,}0893\\ \text{m}\approx 8{,}93\\ \text{cm}.

Resposta

\Delta y = 0{,}089\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados