Em um canal com comprimento total de 800 m , uma concentração de 5 mg / L de um poluente não-conservativo ( k=10 / h ) é mantida constante imediatamente a montante da seção de entrada ( x=0 ). As condições de escoamento são tais que o canal se comporta, aproximadamente, como um sistema de fluxo combinado (advecção + dispersão/difusão), com velocidade U=2000 m / h e coeficiente de difusão/dispersão D=100000 m^2 / h. Considerando o sistema em estado estacionário, determine:
a) A expressão matemática da variação da concentração no trecho;
b) O fluxo de massa por área (J) na seção x=400 m.
As respostas devem ser dadas em unidade de m g, L, m e h.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala de um canal de 800 m em regime estacionário, onde há advecção + dispersão (ou difusão) e ainda um decaimento de primeira ordem (constante k=10,h⁻¹). A montante, em x=0, a concentração é mantida fixa em C(0)=5,mg/L.
Conteúdo: equação de advecção-dispersão em regime permanente com reação de primeira ordem.
O que precisamos fazer:
  1. Montar a EDO obtida do equilíbrio: UdCdx=Dd^2Cdx^2-k,C,
    2) Resolver essa EDO, aplicar as condições de contorno e achar C(x).
    3) Calcular o fluxo de massa por área J(x)=U,C(x);-;DdCdx na posição x=400,m.

Passo 2

Primeiro, reescrevendo a equação no formato padrão de ODE:
Dd^2Cdx^2;-;UdCdx;-;k,C;=;0,
A teoria diz que a solução geral de uma EDO com coeficientes constantes vem de assumir C(x)=e^r x. Substituindo:
D,r^2e^r x-U,r e^r x-k,e^r x=0;;Longrightarrow;;D,r^2-U,r-k=0,
Essa é a equação característica em r.
As raízes são
r1,2=UpmraizU^2+4Dk2D,
Como raizU^2+4Dk>U, uma raiz é positiva ( r1) e a outra negativa ( r2). A solução geral fica
C(x)=A,e^r1 x+B,e^r2 x,

Passo 3

Agora, uso as condições de contorno:
  1. Em x=0, C(0)=5,mg/L ⇒ A+B=5.
  2. Como o canal é longo e queremos solução física (sem explosão quando xtoinfty), descartamos o termo e^r1 x (porque r1>0 explode). Logo A=0 e B=5.
Então a concentração é
$$\boxed{C(x)=5;\exp!\Bigl(r_2,x\Bigr)\quadcom\quad
r_2=\frac{U-\sqrt{U^2+4Dk}}{2D},.} $$
Substituindo boxedC(x)=5;exp!l(r2,xr)com r2=U-raizU^2+4Dk2D, m/h, U=2000,m²/h e D=1times10^5,h⁻¹:
k=10,
raizU^2+4Dk=raiz(2000)^2+4cdot10^5cdot10=raiz8times10^6approx2828,43;,

Passo 4

Agora o fluxo de massa por área é
J(x)=U,C(x);-;DdCdx,
Mas dCdx=r2,C(x), então
$$J(x)=C(x),\bigl(U - D,r_2\bigr)
=C(x),\Bigl(U - D\cdot\frac{U-\sqrt{U^2+4Dk}}{2D}\Bigr)
=C(x),\frac{U+\sqrt{U^2+4Dk}}{2},. $$
Em J(x)=C(x),l(U - D,r2r) =C(x),l(U - DcdotU-raizU^2+4Dk2Dr) =C(x),U+raizU^2+4Dk2, m:
  1. x=400,mg/L.
  2. $$J(400)=0{,}953;\frac{2000+2828{,}43}{2}
\approx0{,}953\times2414{,}21\approx2301{,}4;\frac{mg,\cdot m}{L,h},. $$

Resposta

a) C(x)=5;exp!l(tfrac2000-raiz2000^2+4cdot10^5cdot102cdot10^5,xr)
b) J(400)=2301,4;mg,cdot mL,h,

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