Em um canal com comprimento total de 800 m , uma concentração de
de um poluente não-conservativo (
) é mantida constante imediatamente a montante da seção de entrada (
). As condições de escoamento são tais que o canal se comporta, aproximadamente, como um sistema de fluxo combinado (advecção + dispersão/difusão), com velocidade
e coeficiente de difusão/dispersão
. Considerando o sistema em estado estacionário, determine:
a) A expressão matemática da variação da concentração no trecho;
b) O fluxo de massa por área (J) na seção
.
As respostas devem ser dadas em unidade de
e
.
a) A expressão matemática da variação da concentração no trecho;
b) O fluxo de massa por área (J) na seção
As respostas devem ser dadas em unidade de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala de um canal de 800 m em regime estacionário, onde há advecção + dispersão (ou difusão) e ainda um decaimento de primeira ordem (constante
h⁻¹). A montante, em
, a concentração é mantida fixa em
mg/L.
Conteúdo: equação de advecção-dispersão em regime permanente com reação de primeira ordem.
O que precisamos fazer:
Conteúdo: equação de advecção-dispersão em regime permanente com reação de primeira ordem.
O que precisamos fazer:
- Montar a EDO obtida do equilíbrio:
2) Resolver essa EDO, aplicar as condições de contorno e achar.
3) Calcular o fluxo de massa por áreana posição m.
Passo 2
Primeiro, reescrevendo a equação no formato padrão de ODE:
A teoria diz que a solução geral de uma EDO com coeficientes constantes vem de assumir
Essa é a equação característica em
.
As raízes são
Como
Passo 3
Agora, uso as condições de contorno:
- Em
, mg/L ⇒ . - Como o canal é longo e queremos solução física (sem explosão quando
), descartamos o termo (porque explode). Logo e .
Então a concentração é
$$\boxed{C(x)=5;\exp!\Bigl(r_2,x\Bigr)\quadcom\quad
r_2=\frac{U-\sqrt{U^2+4Dk}}{2D},.} $$
Substituindo
m/h,
m²/h e
h⁻¹:
Passo 4
Agora o fluxo de massa por área é
Mas
$$J(x)=C(x),\bigl(U - D,r_2\bigr)
=C(x),\Bigl(U - D\cdot\frac{U-\sqrt{U^2+4Dk}}{2D}\Bigr)
=C(x),\frac{U+\sqrt{U^2+4Dk}}{2},. $$
Em
m:
-
mg/L. - $$J(400)=0{,}953;\frac{2000+2828{,}43}{2}
\approx0{,}953\times2414{,}21\approx2301{,}4;\frac{mg,\cdot m}{L,h},. $$
Resposta
a)
b)