Em um canal de comunicação digital, a probabilidade de se receber um bit com erro é de 0,0002. Se 10.000 bits forem transmitidos por esse canal, qual é a probabilidade de que mais de quatro bits sejam recebidos com erro?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de probabilidade envolvendo transmissão de bits em um canal digital. A gente sabe que a chance de um bit chegar com erro é de 0,0002. Queremos descobrir qual a probabilidade de, ao transmitir 10.000 bits, mais de quatro chegarem com erro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade binomial e, como a probabilidade de erro é bem pequena, também podemos aplicar uma aproximação usando a distribuição de Poisson.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os parâmetros que vamos precisar. Aqui, temos:
  • Número de tentativas (n): 10.000 bits
  • Probabilidade de sucesso (no caso, erro) em cada tentativa §: 0,0002
Queremos encontrar a probabilidade de mais de quatro erros, ou seja, P(X > 4), onde X é o número de erros.

Passo 3

Como o número de tentativas é grande e a probabilidade de erro é pequena, podemos usar a distribuição de Poisson como uma aproximação para a distribuição binomial. A média (λ) da distribuição de Poisson é dada por:
lambda = n times p = 10.000 times 0,0002 = 2

Passo 4

Agora, queremos calcular P(X > 4) usando a distribuição de Poisson com λ = 2. Sabemos que:
P(X > 4) = 1 - P(X <= 4)
Então, precisamos calcular a soma das probabilidades de X ser 0, 1, 2, 3 e 4.

Passo 5

A fórmula da distribuição de Poisson é:
P(X = k) = e^-lambda lambda^kk!
Vamos calcular para k = 0, 1, 2, 3 e 4.
  • Para k = 0:
P(X = 0) = e^-2 times 2^00! = e^-2 approx 0,1353
  • Para k = 1:
P(X = 1) = e^-2 times 2^11! = 2e^-2 approx 0,2707
  • Para k = 2:
P(X = 2) = e^-2 times 2^22! = 2e^-2 approx 0,2707
  • Para k = 3:
P(X = 3) = e^-2 times 2^33! = 8e^-26 approx 0,1804
  • Para k = 4:
P(X = 4) = e^-2 times 2^44! = 16e^-224 approx 0,0902

Passo 6

Agora, somamos todas essas probabilidades para encontrar P(X ≤ 4):
P(X <= 4) = 0,1353 + 0,2707 + 0,2707 + 0,1804 + 0,0902 approx 0,9473

Passo 7

Finalmente, calculamos P(X > 4):
P(X > 4) = 1 - P(X <= 4) = 1 - 0,9473 = 0,0527

Resposta

A probabilidade de que mais de quatro bits sejam recebidos com erro é aproximadamente 5,27%.

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