Em um canal de comunicação digital, a probabilidade de se receber um bit com erro é de 0,0002. Se 10.000 bits forem transmitidos por esse canal, qual é a probabilidade de que mais de quatro bits sejam recebidos com erro?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema de probabilidade envolvendo transmissão de bits em um canal digital. A gente sabe que a chance de um bit chegar com erro é de 0,0002. Queremos descobrir qual a probabilidade de, ao transmitir 10.000 bits, mais de quatro chegarem com erro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade binomial e, como a probabilidade de erro é bem pequena, também podemos aplicar uma aproximação usando a distribuição de Poisson.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os parâmetros que vamos precisar. Aqui, temos:
- Número de tentativas (n): 10.000 bits
- Probabilidade de sucesso (no caso, erro) em cada tentativa §: 0,0002
Queremos encontrar a probabilidade de mais de quatro erros, ou seja, P(X > 4), onde X é o número de erros.
Passo 3
Como o número de tentativas é grande e a probabilidade de erro é pequena, podemos usar a distribuição de Poisson como uma aproximação para a distribuição binomial. A média (λ) da distribuição de Poisson é dada por:
Passo 4
Agora, queremos calcular P(X > 4) usando a distribuição de Poisson com λ = 2. Sabemos que:
Então, precisamos calcular a soma das probabilidades de X ser 0, 1, 2, 3 e 4.
Passo 5
A fórmula da distribuição de Poisson é:
Vamos calcular para k = 0, 1, 2, 3 e 4.
- Para k = 0:
- Para k = 1:
- Para k = 2:
- Para k = 3:
- Para k = 4:
Passo 6
Agora, somamos todas essas probabilidades para encontrar P(X ≤ 4):
Passo 7
Finalmente, calculamos P(X > 4):
Resposta
A probabilidade de que mais de quatro bits sejam recebidos com erro é aproximadamente 5,27%.