Em um jogo de pôquer, determine a probabilidade para cada uma das situações seguintes, onde cinco cartas estão com um jogador:
exatamente um trio (três cartas de igual valor + duas cartas de valores distintos).

Passo 1

Então, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um jogo de pôquer onde cada jogador recebe cinco cartas. A questão quer saber qual é a probabilidade de um jogador ter exatamente um trio nessa mão.
Um trio significa que três das cartas têm o mesmo valor (por exemplo, três reis) e as outras duas cartas têm valores diferentes entre si e diferentes do trio. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinatória para contar as possíveis combinações e depois calcular a probabilidade.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o número total de maneiras de selecionar 5 cartas de um baralho de 52 cartas. Isso é dado pela combinação:
Total de combinações = C(52, 5) = 52!5! cdot (52-5)! çõ

Passo 3

Agora, vamos calcular quantas dessas combinações resultam exatamente em um trio. Para isso, seguimos os seguintes passos:
  1. Escolher o valor do trio: Existem 13 valores possíveis (Ás, 2, 3, …, Rei).
C(13, 1)
  1. Escolher as 3 cartas desse valor: Para o valor escolhido, há 4 naipes (copas, ouros, paus, espadas). Queremos 3 desses 4.
C(4, 3)
  1. Escolher os valores das outras 2 cartas: Precisamos que essas duas cartas tenham valores diferentes entre si e diferentes do trio. Restam 12 valores.
C(12, 2)
  1. Escolher as cartas desses valores: Para cada um dos dois valores escolhidos, temos 4 naipes possíveis.
4 cdot 4 = 16
Multiplicando todas essas partes, o número total de combinações que resultam exatamente em um trio é:
C(13, 1) times C(4, 3) times C(12, 2) times 16

Passo 4

Agora, vamos calcular a probabilidade dividindo o número de combinações que resultam em um trio pelo total de combinações de 5 cartas.
Probabilidade = C(13, 1) times C(4, 3) times C(12, 2) times 16C(52, 5)

Resposta

A probabilidade de um jogador receber exatamente um trio em uma mão de cinco cartas no pôquer é:
C(13, 1) times C(4, 3) times C(12, 2) times 16C(52, 5)
Calculando os valores:
C(13, 1) = 13
C(4, 3) = 4
C(12, 2) = 66
C(52, 5) = 2.598.960
Então:
Probabilidade = 13 times 4 times 66 times 162.598.960 = 54.9122.598.960 approx 0,0211 ou 2,11%
Portanto, a probabilidade de receber exatamente um trio em uma mão de cinco cartas no pôquer é de aproximadamente 2,11%.

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