De quantos modos podemos escolher 6 pessoas, incluindo pelo menos duas mulheres, em um grupo de 7 homens e 4 mulheres?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um grupo de 7 homens e 4 mulheres, totalizando 11 pessoas. Precisamos escolher 6 pessoas desse grupo, mas com a condição de que pelo menos duas delas sejam mulheres. Para resolver isso, vamos usar combinatória, especificamente o conceito de combinações, que nos ajuda a contar de quantas maneiras podemos selecionar um grupo sem se preocupar com a ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “pelo menos duas mulheres”. Isso quer dizer que o grupo de 6 pessoas pode ter:
  • Exatamente 2 mulheres e 4 homens
  • Exatamente 3 mulheres e 3 homens
  • Exatamente 4 mulheres e 2 homens
Vamos calcular separadamente a quantidade de combinações para cada um desses cenários.

Passo 3

Caso 1: 2 mulheres e 4 homens
Para escolher 2 mulheres das 4 disponíveis, usamos a combinação $ C(4, 2) $. Da mesma forma, para escolher 4 homens dos 7 disponíveis, usamos $ C(7, 4) $.
Então, o número de maneiras para esse caso é:
C(4, 2)
Caso 2: 3 mulheres e 3 homens
Aqui, escolhemos 3 mulheres das 4 disponíveis: $ C(4, 3) $, e 3 homens dos 7: $ C(7, 3) $.
Então, o total para esse caso é:
C(7, 4)
Caso 3: 4 mulheres e 2 homens
Finalmente, escolhemos todas as 4 mulheres: $ C(4, 4) $, e 2 homens dos 7: $ C(7, 2) $.
O número de maneiras aqui é:
C(4, 2) times C(7, 4)

Passo 4

Agora, vamos calcular cada uma dessas combinações:
  • $ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!} $, onde “!” representa o fatorial.
Calculando Caso 1:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
C(4, 2) = 4!2! times 2! = 6
Total: $ 6 \times 35 = 210 $
Calculando Caso 2:
C(7, 4) = 7!4! times 3! = 35
6 times 35 = 210
Total: $ 4 \times 35 = 140 $
Calculando Caso 3:
C(4, 3) = 4!3! times 1! = 4
C(7, 3) = 7!3! times 4! = 35
Total: $ 1 \times 21 = 21 $

Resposta

Somando todos os casos:
210 + 140 + 21 = 371
Portanto, existem 371 maneiras de escolher 6 pessoas, incluindo pelo menos duas mulheres, em um grupo de 7 homens e 4 mulheres.

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