Em um canal de irrigação, cuja largura é w=3,22 m e profundidade d=1,04 m, a água flui com uma velocidade de 0,207 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine o fluxo de massa através das seguintes superfícies:
uma superfície de área 3 w d / 2, da qual w d está na água e perpendicular ao fluxo;

Passo 1

O enunciado descreve um canal de irrigação de largura w=3{,}22\\ \mathrm m e profundidade d=1{,}04\\ \mathrm m, por onde a água escoa com velocidade v=0{,}207\\ \mathrm{m/s}. Temos uma superfície de área total \tfrac{3wd}{2}, mas somente a área A_{\rm imersa}=w\,d está dentro da água e é perpendicular ao fluxo. Queremos calcular o fluxo de massa
\dot m \;=\;\int_{A_{\rm imersa}}\rho\,\mathbf v\cdot\mathbf n\,dA
onde \rho é a densidade da água e \mathbf v\cdot\mathbf n=v porque a superfície é perpendicular ao escoamento.

Passo 2

Calcular a área realmente imersa:
A_{\rm imersa}=w\,d=3{,}22\times1{,}04=3{,}3488\\ \mathrm{m}^2.

Passo 3

Adotar a densidade típica da água \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}. Como a área é perpendicular ao fluxo,
\dot m = \rho\,v\,A_{\rm imersa}.

Passo 4

Substituindo os valores:
\dot m = 1000\;\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\times0{,}207\;\frac{\mathrm m}{\mathrm s}\times3{,}3488\;\mathrm m^2 =693{,}2\;\mathrm{kg/s}.

Resposta

O fluxo de massa através da superfície é aproximadamente
\dot m = 693{,}2\\ \mathrm{kg/s}.

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