Em um canal retangular de 5 m de largura escoa, em regime permanente e uniforme, uma vazão de 16 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, com uma declividade de fundo de 1 \mathrm{~m} / \mathrm{km} e n=0,021. Em uma determinada seção, um degrau de 0,20 m de altura é construído no fundo do canal e nesta mesma seção a largura é reduzida para 4 m .
a) Desprezando as perdas de carga, verificar se a transição afetou as condições de montante
b) Determinar a altura da água na seção reduzida
c) Se as condições de montante não forem afetadas qual deverá ser a máxima altura do degrau, sem que isso ocorra

Passo 1

O enunciado e os dados (peguei tudo do enunciado):
  • Largura inicial: B_1=5\\ \mathrm{m}.
  • Vazão: Q=16\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Declividade do fundo: S_0=1\\ \mathrm{m/km}=0{,}001.
  • Rugosidade de Manning: n=0{,}021.
  • Em uma seção foi construído um degrau no fundo de altura h=0{,}20\\ \mathrm{m} e, nessa mesma seção, a largura passa a ser B_2=4\\ \mathrm{m}.
    O que se pede:
    (a) Desprezando perdas, verificar se a transição (redução de largura + degrau) afetou as condições de montante.
    (b) Determinar a altura da água na seção reduzida (ou seja, a profundidade y_2 medida a partir do novo fundo).
    (c) Se as condições de montante não forem afetadas, qual deverá ser a máxima altura do degrau para que isso não ocorra (ou seja, o maior h que mantém montante inalterado).

Passo 2

Determinar a profundidade normal a montante y_1 (escoamento uniforme antes da modificação) usando a fórmula de Manning para canal retangular:
Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S_0^{1/2},
onde para retângulo A=B_1 y e o raio hidráulico R=\dfrac{A}{P}=\dfrac{B_1 y}{B_1+2y}.
Substituindo B_1=5, Q=16, n=0{,}021, S_0=0{,}001 obtemos equação em y. Faço tentativa numérica (método direto por tentativas é suficiente para prova):
  • Teste y=2{,}00\\ \mathrm{m}: A=5\cdot2=10,\quad P=5+2\cdot2=9,\quad R=\frac{10}{9}=1{,}1111,
R^{2/3}\approx1{,}0727,\quad Q\approx\frac{1}{0{,}021}\cdot10\cdot1{,}0727\cdot\sqrt{0{,}001}\approx16{,}17\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Teste y=1{,}98\\ \mathrm{m} Q\approx15{,}94\\ \mathrm{m^3/s}.
    Interpolando entre 1{,}98 e 2{,}00, o valor que dá Q=16 é aproximadamente
y_1\approx1{,}986\\ \mathrm{m}\\ (\text{arredondar para }1{,}99\\ \mathrm{m}\\ \text{se desejar}).
Calculo a velocidade a montante e a energia específica:
A_1=B_1 y_1=5\cdot1{,}986=9{,}93\\ \mathrm{m^2},\qquad V_1=\frac{Q}{A_1}=\frac{16}{9{,}93}\approx1{,}611\\ \mathrm{m/s}.
Energia específica em relação ao fundo montante (energia específica clássica):
E_1=y_1+\frac{V_1^2}{2g}=1{,}986+\frac{1{,}611^2}{2\cdot9{,}81}\approx1{,}986+0{,}1324=2{,}1184\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Calcular a profundidade crítica na seção contraída y_{c2} (retangular):
Para retângulo a profundidade crítica satisfaz
Q^2 = g\,B_2^2\,y_{c2}^3 \quad\Rightarrow\quad y_{c2}=\left(\frac{Q^2}{g\,B_2^2}\right)^{1/3}.
Substituindo Q=16, B_2=4, g=9{,}81:
y_{c2}=\left(\frac{16^2}{9{,}81\cdot4^2}\right)^{1/3} =\left(\frac{256}{9{,}81\cdot16}\right)^{1/3} \approx\left(\frac{256}{156{,}96}\right)^{1/3}\approx1{,}178\\ \mathrm{m}.
Energia específica crítica em B_2 (soma de profundidade crítica + energia cinética crítica). Para condição crítica em retângulo vale V_c=\sqrt{g y_c}, portanto
E_{c2}=y_{c2}+\frac{V_{c2}^2}{2g}=y_{c2}+\frac{g y_{c2}}{2g}=y_{c2}+\frac{y_{c2}}{2}=\frac{3}{2}y_{c2}.
Logo
E_{c2}=\frac{3}{2}\,y_{c2}\approx\frac{3}{2}\cdot1{,}178\approx1{,}767\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Verificação (a): com o degrau de h=0{,}20\\ \mathrm{m} a energia disponível para a seção 2 (referida ao novo fundo da seção 2) é
E_1 - h = 2{,}1184 - 0{,}20 = 1{,}9184\\ \mathrm{m}.
Comparando com a energia crítica E_{c2}=1{,}767\\ \mathrm{m} vemos que
E_1 - h = 1{,}9184 > E_{c2} = 1{,}767.
Isto significa que, desprezando perdas, existe solução (ou soluções) compatível com manter a profundidade a montante igual à profundidade normal y_1. Em outras palavras, o degrau de 0{,}20\\ \mathrm{m} NÃO força necessariamente uma alteração das condições a montante: a equação de energia admite uma profundidade a jusante compatível com y_1. Portanto, respondendo (a): a transição não afetou as condições de montante (com os dados dados e desprezando perdas).

Passo 5

Determinar a profundidade y_2 na seção reduzida (item b) usando conservação de energia entre as duas seções (sem perdas). Tomando referência de cota do fundo montante z_1=0 e fundo jusante z_2=h=0{,}20:
z_1 + y_1 + \frac{V_1^2}{2g}=z_2 + y_2 + \frac{V_2^2}{2g}.
Substituindo z_1=0, z_2=0{,}20 e colocando V_2=\dfrac{Q}{A_2}=\dfrac{Q}{B_2 y_2}=\dfrac{16}{4 y_2}=\dfrac{4}{y_2}, obtemos a equação em y_2:
y_2 + \frac{V_2^2}{2g} = y_1 + \frac{V_1^2}{2g} - 0{,}20.
Calculando a constante do lado direito:
C \equiv y_1 + \frac{V_1^2}{2g} - 0{,}20 = 2{,}1184 - 0{,}20 = 1{,}9184.
E como \dfrac{V_2^2}{2g}=\dfrac{(4/y_2)^2}{2g}=\dfrac{8}{g\,y_2^2}, a equação fica
y_2 + \frac{8}{g\,y_2^2}=C=1{,}9184.
Colocando g=9{,}81 temos numericamente
y_2 + \frac{0{,}8155}{y_2^2}=1{,}9184.
Resolvendo numericamente (tentativas):
  • Teste y_2=1{,}60: 1{,}60 + 0{,}8155/1{,}60^2 = 1{,}60 + 0{,}8155/2{,}56 = 1{,}60 + 0{,}3186 = 1{,}9186 (muito próximo).
    Portanto
y_2\approx1{,}600\\ \mathrm{m}.
Verificação física: velocidade em seção 2
V_2=\frac{4}{y_2}=\frac{4}{1{,}6}=2{,}5\\ \mathrm{m/s},
e número de Froude em 2:
Fr_2=\frac{V_2}{\sqrt{g y_2}}=\frac{2{,}5}{\sqrt{9{,}81\cdot1{,}6}}\approx0{,}632<1,
ou seja, a solução encontrada é a solução subcrítica (profundidade maior que y_{c2}), coerente com a comparação de energias feita antes.

Passo 6

Determinar a máxima altura do degrau h_{\max} que pode ser construída sem alterar as condições de montante (item c).
A condição limite é quando a energia disponível para a seção 2, E_1-h, é igual à energia crítica E_{c2}. Assim
h_{\max}=E_1-E_{c2}.
Usando os valores numéricos já calculados:
h_{\max}=2{,}1184 - 1{,}767 = 0{,}3514\\ \mathrm{m}\approx0{,}351\\ \mathrm{m}.
Interpretação: se o degrau for maior que h_{\max} então não existe solução subcrítica compatível com manter y_1 igual à profundidade normal; aí as condições a montante serão alteradas (por exemplo o escoamento pode ficar chocado ou a profundidade montante terá que aumentar). Para degrau igual a h_{\max} a seção reduzida fica exatamente crítica; para degrau menor que h_{\max} existe solução subcrítica como a que encontramos em (b).

Resposta

(a) Não — a transição, com h=0{,}20\\ \mathrm{m}, não afetou as condições de montante (existe solução compatível com y_1).
(b) y_2\approx1{,}600\\ \mathrm{m}.
(c) h_{\max}\approx0{,}351\\ \mathrm{m}.

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