Informações relevantes que vamos usar: para uma curva paramétrica por vetor \vec{r}(t) definida em [a,b], o comprimento da curva é obtido através de uma integral do comprimento da velocidade \|\vec{r}\,'(t)\| ao longo do intervalo. A conta correta começa encontrando \vec{r}\,'(t) e depois integrando sua norma.
Passo 2
Fórmula do comprimento de arco — por que e como usar.
Intuição: dividir o intervalo [a,b] em pequenos pedaços e aproximar a curva por segmentos retos; somando os comprimentos desses segmentos e passando ao limite obtemos uma integral.
Fórmula: se \vec{r}:[a,b]\to\mathbb{R}^3 é diferenciável, o comprimento L da curva em [a,b] é
L=\int_{a}^{b}\big\|\vec{r}\,'(t)\big\|\,dt.
Aqui \big\|\vec{r}\,'(t)\big\| é a norma euclidiana do vetor derivada, isto é, se \vec{r}\,'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t)) então
Fatorando \sqrt{4t^{2}+2}=\;2\sqrt{t^{2}+\tfrac{1}{2}} (ou via passo anterior: \sqrt{2}\sqrt{2t^{2}+1} e depois fatorar \sqrt{2}), obtemos a forma mais simples para integrar:
L=2\int_{0}^{\pi}\sqrt{t^{2}+\tfrac{1}{2}}\,dt.
Passo 6
Antiderivada de \sqrt{t^{2}+a^{2}}: fórmula e breve justificativa.
É útil conhecer a antiderivada padrão (pode ser obtida por substituição hiperbólica t=a\operatorname{sinh} u ou por métodos usuais). A fórmula é
Se quiser uma rápida intuição: com a substituição t=a\operatorname{sinh} u tem-se \sqrt{t^{2}+a^{2}}=a\operatorname{cosh} u e a integral transforma-se em expressões em \operatorname{sinh} e \operatorname{cosh} que levam ao resultado acima.
Passo 7
Aplicar a fórmula ao nosso caso e avaliar a integral definida.
Aqui a^{2}=\tfrac{1}{2}, logo a=\tfrac{1}{\sqrt{2}}.
Usando o Passo 6 para I=\int_{0}^{\pi}\sqrt{t^{2}+\tfrac{1}{2}}\,dt, temos
Esse é o comprimento exato da curva no intervalo pedido. Dá para deixar a resposta nessa forma fechada (logarítmica + radical). Se for preciso um número aproximado, pode-se calcular numericamente; mas em provas de cálculo normalmente a forma exata é a esperada.
Bom trabalho! Você conseguiu decompor o problema: derivada, norma, simplificação trigonométrica e integral padrão. Isso é exatamente o roteiro que funciona na maioria dos problemas de comprimento de curvas.