Obter o comprimento curva \vec{r}(t)=\left(t^{2}, \sin (t)-\cos (t), \sin (t)+\cos (t)\right) \operatorname{com} t \in[0, \pi].

Passo 1

O que o problema pede e o que nos é dado.
  • O enunciado pede: calcular o comprimento da curva dada por \vec{r}(t) no intervalo t\in[0,\pi].
  • A curva é
\vec{r}(t)=\big(t^{2},\;\sin(t)-\cos(t),\;\sin(t)+\cos(t)\big),\qquad t\in[0,\pi].
  • Informações relevantes que vamos usar: para uma curva paramétrica por vetor \vec{r}(t) definida em [a,b], o comprimento da curva é obtido através de uma integral do comprimento da velocidade \|\vec{r}\,'(t)\| ao longo do intervalo. A conta correta começa encontrando \vec{r}\,'(t) e depois integrando sua norma.

Passo 2

Fórmula do comprimento de arco — por que e como usar.
  • Intuição: dividir o intervalo [a,b] em pequenos pedaços e aproximar a curva por segmentos retos; somando os comprimentos desses segmentos e passando ao limite obtemos uma integral.
  • Fórmula: se \vec{r}:[a,b]\to\mathbb{R}^3 é diferenciável, o comprimento L da curva em [a,b] é
L=\int_{a}^{b}\big\|\vec{r}\,'(t)\big\|\,dt.
  • Aqui \big\|\vec{r}\,'(t)\big\| é a norma euclidiana do vetor derivada, isto é, se \vec{r}\,'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t)) então
\big\|\vec{r}\,'(t)\big\|=\sqrt{\big(x'(t)\big)^{2}+\big(y'(t)\big)^{2}+\big(z'(t)\big)^{2}}.

Passo 3

Calcular \vec{r}\,'(t) componente a componente.
  • Derivando cada componente:
    • \dfrac{d}{dt}\big(t^{2}\big)=2t.
    • \dfrac{d}{dt}\big(\sin t-\cos t\big)=\cos t+\sin t (porque (-\cos t)'=+\sin t).
    • \dfrac{d}{dt}\big(\sin t+\cos t\big)=\cos t-\sin t.
  • Portanto
\vec{r}\,'(t)=\big(2t,\;\cos t+\sin t,\;\cos t-\sin t\big).

Passo 4

Calcular \big\|\vec{r}\,'(t)\big\|^{2} e simplificar usando identidade trigonométrica.
  • Pela definição da norma,
\big\|\vec{r}\,'(t)\big\|^{2}=(2t)^{2}+(\cos t+\sin t)^{2}+(\cos t-\sin t)^{2}.
  • Expandindo os dois quadrados das somas:
(\cos t+\sin t)^{2}=\cos^{2}t+2\sin t\cos t+\sin^{2}t,
(\cos t-\sin t)^{2}=\cos^{2}t-2\sin t\cos t+\sin^{2}t.
  • Somando-os os termos com 2\sin t\cos t cancelam e obtemos
(\cos t+\sin t)^{2}+(\cos t-\sin t)^{2}=2\big(\cos^{2}t+\sin^{2}t\big)=2.
  • Logo
\big\|\vec{r}\,'(t)\big\|^{2}=4t^{2}+2.
  • Portanto a norma é
\big\|\vec{r}\,'(t)\big\|=\sqrt{4t^{2}+2}=\sqrt{2}\,\sqrt{2t^{2}+1}.

Passo 5

Montar a integral do comprimento e simplificá‑la.
  • Usando a fórmula do Passo 2,
L=\int_{0}^{\pi}\big\|\vec{r}\,'(t)\big\|\,dt=\int_{0}^{\pi}\sqrt{4t^{2}+2}\,dt.
  • Fatorando \sqrt{4t^{2}+2}=\;2\sqrt{t^{2}+\tfrac{1}{2}} (ou via passo anterior: \sqrt{2}\sqrt{2t^{2}+1} e depois fatorar \sqrt{2}), obtemos a forma mais simples para integrar:
L=2\int_{0}^{\pi}\sqrt{t^{2}+\tfrac{1}{2}}\,dt.

Passo 6

Antiderivada de \sqrt{t^{2}+a^{2}}: fórmula e breve justificativa.
  • É útil conhecer a antiderivada padrão (pode ser obtida por substituição hiperbólica t=a\operatorname{sinh} u ou por métodos usuais). A fórmula é
\int \sqrt{t^{2}+a^{2}}\,dt=\frac{1}{2}\Big(t\sqrt{t^{2}+a^{2}}+a^{2}\ln\!\big(t+\sqrt{t^{2}+a^{2}}\big)\Big)+C,
onde a>0.
  • Nesta fórmula:
    • t é a variável de integração,
    • a é constante positiva,
    • a função \ln é o logaritmo natural.
  • Se quiser uma rápida intuição: com a substituição t=a\operatorname{sinh} u tem-se \sqrt{t^{2}+a^{2}}=a\operatorname{cosh} u e a integral transforma-se em expressões em \operatorname{sinh} e \operatorname{cosh} que levam ao resultado acima.

Passo 7

Aplicar a fórmula ao nosso caso e avaliar a integral definida.
  • Aqui a^{2}=\tfrac{1}{2}, logo a=\tfrac{1}{\sqrt{2}}.
  • Usando o Passo 6 para I=\int_{0}^{\pi}\sqrt{t^{2}+\tfrac{1}{2}}\,dt, temos
I=\left.\frac{1}{2}\Big(t\sqrt{t^{2}+\tfrac{1}{2}}+\tfrac{1}{2}\ln\!\big(t+\sqrt{t^{2}+\tfrac{1}{2}}\big)\Big)\right|_{0}^{\pi}.
  • Multiplicando por 2 (lembre que L=2I) cancela o fator \tfrac{1}{2}, então
L=\Big[t\sqrt{t^{2}+\tfrac{1}{2}}+\tfrac{1}{2}\ln\!\big(t+\sqrt{t^{2}+\tfrac{1}{2}}\big)\Big]_{0}^{\pi}.
  • Avaliando em t=\pi e em t=0:
    • Em t=\pi:
    \pi\sqrt{\pi^{2}+\tfrac{1}{2}}+\tfrac{1}{2}\ln\!\big(\pi+\sqrt{\pi^{2}+\tfrac{1}{2}}\big).
    • Em t=0:
    0+\tfrac{1}{2}\ln\!\big(\sqrt{\tfrac{1}{2}}\big)=\tfrac{1}{2}\ln\!\big(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\big)= -\tfrac{1}{4}\ln 2.
  • Subtraindo (valor em \pi menos valor em 0) obtemos
L=\pi\sqrt{\pi^{2}+\tfrac{1}{2}}+\tfrac{1}{2}\ln\!\big(\pi+\sqrt{\pi^{2}+\tfrac{1}{2}}\big)+\tfrac{1}{4}\ln 2.

Passo 8

Interpretação final e comentário rápido.
  • Esse é o comprimento exato da curva no intervalo pedido. Dá para deixar a resposta nessa forma fechada (loga­rítmica + radical). Se for preciso um número aproximado, pode-se calcular numericamente; mas em provas de cálculo normalmente a forma exata é a esperada.
  • Bom trabalho! Você conseguiu decompor o problema: derivada, norma, simplificação trigonométrica e integral padrão. Isso é exatamente o roteiro que funciona na maioria dos problemas de comprimento de curvas.

Resposta

\displaystyle L=\pi\sqrt{\pi^{2}+\tfrac{1}{2}}+\tfrac{1}{2}\ln\!\big(\pi+\sqrt{\pi^{2}+\tfrac{1}{2}}\big)+\tfrac{1}{4}\ln 2

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