2 { }^{\mathrm{a}} Ouestâo: Num conduto de ferro fundido, cuja rugosidade das paredes é de \mathrm{C}=100, \mathrm{e} com 200 mm de diâmetro, a pressão no ponto A é de 2,4 \mathrm{~kg} / \mathrm{cm}^{2}, e no ponto B , 1000 m adiante e 1,40 \mathrm{~m} acima de A , de 1,8 \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^{2}. Calcular a vazão de escoamento nesta (1,5 pontos)

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a vazão de escoamento Q:
  • Rugosidade (coeficiente Hazen–Williams): C=100.
  • Diâmetro do tubo: D=200\\ \text{mm} = 0,200\\ \text{m}.
  • Distância entre A e B: L=1000\\ \text{m}.
  • Ponto B está 1,40\\ \text{m} acima de A (ou seja, z_B = z_A + 1,40\\ \text{m}).
  • Pressão em A: p_A=2,4\\ \text{kgf}/\text{cm}^2.
  • Pressão em B: p_B=1,8\\ \text{kgf}/\text{cm}^2.
O que se pede: calcular a vazão volumétrica Q (m³/s ou L/s) satisfa zendo o balanço de energia entre A e B, considerando perda de carga por atrito descrita pela fórmula de Hazen–Williams.

Passo 2

Converter as pressões para cabeça piezométrica (metros de coluna d’água). Uma boa relação útil é:
1\\ \text{kgf}/\text{cm}^2 \approx 98\,066{,}5\\ \text{Pa}
e a cabeça correspondente é
\frac{p}{\rho g} \quad\text{com}\quad \rho\approx1000\\ \text{kg/m}^3,\quad g\approx9{,}80665\\ \text{m/s}^2.
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1\\ \text{kgf}/\text{cm}^2 \approx \frac{98\,066{,}5}{1000\cdot 9{,}80665}\\ \text{m} \approx 10{,}0\\ \text{m}.
Assim as cabeças estáticas em A e B são:
h_A = 2,4\times10{,}0 = 24{,}0\\ \text{m}, \qquad h_B = 1,8\times10{,}0 = 18{,}0\\ \text{m}.

Passo 3

Aplicar a equação de energia entre A e B (velocidade uniforme, mesmas seções → as energias cinéticas se cancelam):
\bigg(\frac{p_A}{\rho g}+z_A\bigg) - \bigg(\frac{p_B}{\rho g}+z_B\bigg) = h_f,
onde h_f é a perda de carga por atrito ao longo de L. Com z_B = z_A + 1{,}40\\ \text{m} (B mais alto), temos
h_f = h_A - h_B + z_A - z_B = h_A - h_B - 1{,}40.
Substituindo os valores:
h_f = 24{,}0 - 18{,}0 - 1{,}40 = 4{,}60\\ \text{m}.

Passo 4

Usar a fórmula empírica de Hazen–Williams (válida para água em tubulações corrugadas lisas, coeficiente C fornecido). Na forma que dá perda de carga h_f em metros:
h_f = 10{,}67\;\frac{L\;Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\;D^{4{,}87}}.
Aqui:
  • h_f em metros,
  • L em metros,
  • Q em \text{m}^3/\text{s},
  • C adimensional,
  • D em metros.
Isolando Q:
Q = \left( \frac{h_f\; C^{1{,}852}\; D^{4{,}87}}{10{,}67\;L} \right)^{1/1{,}852}.

Passo 5

Calcular as potências necessárias (mostrando os passos numéricos):
C^{1{,}852} = 100^{1{,}852} = 10^{2\cdot1{,}852} = 10^{3{,}704}\approx 5{,}06\times10^{3}.
D^{4{,}87} = (0,200)^{4{,}87} \approx 3{,}93\times10^{-4}.
Multiplicando:
C^{1{,}852}\;D^{4{,}87} \approx (5{,}06\times10^{3})\times(3{,}93\times10^{-4}) \approx 1{,}988.

Passo 6

Substituir tudo na expressão para Q:
Numerador interno:
h_f\;C^{1{,}852}\;D^{4{,}87} \approx 4{,}60\times 1{,}988 \approx 9{,}1448.
Denominador:
10{,}67\;L = 10{,}67\times 1000 = 10\,670.
Razão:
\frac{h_f\;C^{1{,}852}\;D^{4{,}87}}{10{,}67\;L} \approx \frac{9{,}1448}{10\,670} \approx 0{,}0008573.
Agora aplicar a potência 1/1{,}852 (onde 1/1{,}852\approx0{,}540):
Q \approx (0{,}0008573)^{0{,}540} \approx 0{,}0221\\ \text{m}^3/\text{s}.

Passo 7

Converter para unidades usuais:
Q \approx 0{,}0221\\ \text{m}^3/\text{s} = 22{,}1\\ \text{L/s}.
Verificação rápida de ordem de grandeza: área da seção A=\pi D^2/4 = \pi(0,200)^2/4 \approx 0{,}0314\\ \text{m}^2. Velocidade média
v=\frac{Q}{A}\approx\frac{0{,}0221}{0{,}0314}\approx0{,}70\\ \text{m/s},
valor razoável para uma tubulação de 200\\ \text{mm}. Número de Reynolds com \nu\approx1{,}0\times10^{-6}\\ \text{m}^2/\text{s} daria escoamento claramente turbulento, compatível com o uso de Hazen–Williams.

Resposta

Q=0,0221\\ \mathrm{m^3/s}
Q=22,1\\ \mathrm{L/s}

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