Um canal retangular com seção de minima resistência possui altura de 2 m sendo que a lâmina d’água chega a 80 \% da altura. Calcule a vazäo transportada por esse canal se a declividade for \mathrm{i}=0,0025 \mathrm{~m} / \mathrm{m} e \mathrm{n}=0,015

Passo 1

  • Dados do enunciado:
    • altura do canal (calha) = 2\\ \mathrm{m}.
    • lâmina d’água = 80\% da altura.
    • declividade (inclinação) i = 0,0025\\ \mathrm{m/m}.
    • coeficiente de Manning n = 0,015.
    • seção: retangular e de “mínima resistência”.
  • O que o problema pede:
    • Calcular a vazão Q transportada pelo canal, dada a lâmina e as condições acima.

Passo 2

Primeiro vamos traduzir a lâmina d’água em profundidade numérica. A lâmina é 80\% da altura total 2\\ \mathrm{m}, portanto a profundidade efetiva da água y vale
y = 0{,}80 \times 2 = 1{,}6\\ \mathrm{m}.

Passo 3

O enunciado diz que a seção é de “mínima resistência”. Na prática hidráulica, para seções retangulares isso costuma significar escolher a geometria que reduz a resistência ao escoamento — uma forma usual de formular isto é escolher a largura b que torna a seção racional (ótima). A relação clássica, obtida a partir de condições de otimização (minimizar perda por atrito ou minimizar o perímetro molhado para uma dada área), leva à condição
b = 2y.
Vamos usar essa condição para obter a largura ótima. Substituindo y=1{,}6\\ \mathrm{m},
b = 2 \times 1{,}6 = 3{,}2\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular a área da seção molhada A, o perímetro molhado P e o raio hidráulico R.
  • Área:
A = b\cdot y = 3{,}2 \times 1{,}6 = 5{,}12\\ \mathrm{m}^2.
  • Perímetro molhado:
P = b + 2y = 3{,}2 + 2\times 1{,}6 = 3{,}2 + 3{,}2 = 6{,}4\\ \mathrm{m}.
  • Raio hidráulico:
R = \frac{A}{P} = \frac{5{,}12}{6{,}4} = 0{,}8\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Agora a fórmula de Manning para vazão em escoamento uniforme em canal aberto:
Q = \frac{1}{n}\;A\;R^{2/3}\;S^{1/2},
onde
  • Q é a vazão ( \mathrm{m}^3/\mathrm{s}),
  • n é o coeficiente de Manning (adimensional),
  • A é a área da seção molhada ( \mathrm{m}^2),
  • R é o raio hidráulico ( \mathrm{m}),
  • S é a declividade da linha de energia (aqui usamos S=i), adimensional.
Explico por que usamos essa fórmula: Manning é a equação empírica clássica para escoamento uniforme em canais abertos quando se conhece a geometria, rugosidade ( n) e declividade; é a escolha padrão em muitos exercícios e em projeto prático.

Passo 6

Calculemos cada termo numérico:
  • R^{2/3} = 0{,}8^{2/3}. Uma aproximação numérica:
0{,}8^{2/3} \approx 0{,}8617.
  • S^{1/2} = \sqrt{0{,}0025} = 0{,}05.
Agora substituímos na fórmula de Manning:
Q = \frac{1}{0{,}015}\times 5{,}12 \times 0{,}8617 \times 0{,}05.
Façamos as multiplicações em etapas:
5{,}12 \times 0{,}8617 \approx 4{,}4119,
4{,}4119 \times 0{,}05 \approx 0{,}220595,
\frac{0{,}220595}{0{,}015} \approx 14{,}7063\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.

Passo 7

Arredondando de forma prática para duas casas decimais (valor adequado para projeto/prova):
Q \approx 14{,}71\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Esse valor é coerente com a área relativamente grande ( 5{,}12\\ \mathrm{m}^2), raio hidráulico razoável ( 0{,}8\\ \mathrm{m}) e inclinação pequena.

Resposta

14{,}71\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}

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