Em um círculo de Mohr, as tensões principais valem
e
. Determinar: 1) Qual a tensão de cisalhamento em um plano que faz
plano principal; 2) Qual a tensão normal (
) neste plano e a tensão normal (
) no plano perpendicular a ele.
Passo 1
O enunciado dá as tensões principais e pede duas coisas. Dados fornecidos:
Perguntas:
- Qual a tensão de cisalhamento em um plano que faz
com o plano principal? - Qual a tensão normal nesse plano (
) e qual a tensão normal no plano perpendicular a ele ( )?
Passo 2
Vamos aprender as fórmulas que usamos (explicação didática). Em um estado plano de tensões, a transformação de tensões para um plano que gira um ângulo
em relação ao eixo principal dá as fórmulas (quando trabalhamos já nos eixos principais, o cisalhamento inicialmente é zero):
Aqui:
-
é a tensão normal no plano inclinado de em relação ao plano principal (positivo em tração); -
é a tensão de cisalhamento no mesmo plano (módulo e sinal conforme convenção); -
é o ângulo entre o plano principal associado a e o plano que estamos analisando; -
é o centro do círculo de Mohr (chamarei de ); -
é o raio do círculo de Mohr (chamarei de ).
Explicação física simples: o fatoraparece porque no círculo de Mohr um giro físico de corresponde a um ângulo geométrico no círculo; desloca todas as tensões e determina a amplitude máxima.
Passo 3
Calculo do centro
e do raio
usando os dados:
Esses dois números são super úteis: todas as tensões possíveis ficam no círculo de centro
e raio
.
Passo 4
Calcular a tensão de cisalhamento
no plano com
. Primeiro o ângulo duplo:
Aplicando a fórmula do passo 2:
Agora calculamos
. Aproximação numérica:
Portanto
Interpretação rápida: esse é o valor da tensão de cisalhamento no plano pedido (sinal positivo conforme convenção usada).
Passo 5
Calcular a tensão normal
no mesmo plano usando a fórmula:
Calculamos
:
Logo
Passo 6
A tensão normal no plano perpendicular (
) pode ser obtida por duas vias equivalentes. Usando a fórmula direta:
Verificação rápida (consistência):
, e de fato
. Além disso, a tensão de cisalhamento no plano perpendicular tem mesmo módulo e sinal oposto:
.
Passo 7
Resumo do método para a prova (pequeno tutorial prático):
- Calcule
e . - Calcule
. - Use
e . - A outra normal é
.
Isso é rápido e evita ter de derivar tudo durante a prova — memorizando o significado dee você aplica direto.