Em um círculo de Mohr, as tensões principais valem \sigma 1=53,2 \mathrm{MPa} e \sigma 3=- 28,2 \mathrm{MPa}. Determinar: 1) Qual a tensão de cisalhamento em um plano que faz 11,74^{\circ} \mathrm{com} \mathrm{o} plano principal; 2) Qual a tensão normal ( \sigma_{\mathrm{n}} ) neste plano e a tensão normal ( \sigma_{\mathrm{t}} ) no plano perpendicular a ele.

Passo 1

O enunciado dá as tensões principais e pede duas coisas. Dados fornecidos:
\sigma_1 = 53,2\\ \text{MPa},\qquad \sigma_3 = -28,2\\ \text{MPa}
Perguntas:
  1. Qual a tensão de cisalhamento em um plano que faz 11,74^\circ com o plano principal?
  2. Qual a tensão normal nesse plano ( \sigma_{\mathrm{n}}) e qual a tensão normal no plano perpendicular a ele ( \sigma_{\mathrm{t}})?

Passo 2

Vamos aprender as fórmulas que usamos (explicação didática). Em um estado plano de tensões, a transformação de tensões para um plano que gira um ângulo \theta em relação ao eixo principal dá as fórmulas (quando trabalhamos já nos eixos principais, o cisalhamento inicialmente é zero):
\sigma_{\mathrm{n}} = \frac{\sigma_1+\sigma_3}{2} + \frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}\cos(2\theta)
\tau = \frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}\sin(2\theta)
Aqui:
  • \sigma_{\mathrm{n}} é a tensão normal no plano inclinado de \theta em relação ao plano principal (positivo em tração);
  • \tau é a tensão de cisalhamento no mesmo plano (módulo e sinal conforme convenção);
  • \theta é o ângulo entre o plano principal associado a \sigma_1 e o plano que estamos analisando;
  • \frac{\sigma_1+\sigma_3}{2} é o centro do círculo de Mohr (chamarei de C);
  • \frac{\sigma_1-\sigma_3}{2} é o raio do círculo de Mohr (chamarei de R).
    Explicação física simples: o fator 2\theta aparece porque no círculo de Mohr um giro físico de \theta corresponde a um ângulo geométrico 2\theta no círculo; C desloca todas as tensões e R determina a amplitude máxima.

Passo 3

Calculo do centro C e do raio R usando os dados:
C = \frac{\sigma_1+\sigma_3}{2} = \frac{53,2 + (-28,2)}{2} = \frac{25,0}{2} = 12,5\\ \text{MPa}
R = \frac{\sigma_1-\sigma_3}{2} = \frac{53,2 - (-28,2)}{2} = \frac{81,4}{2} = 40,7\\ \text{MPa}
Esses dois números são super úteis: todas as tensões possíveis ficam no círculo de centro C e raio R.

Passo 4

Calcular a tensão de cisalhamento \tau no plano com \theta = 11,74^\circ. Primeiro o ângulo duplo:
2\theta = 2\cdot 11,74^\circ = 23,48^\circ
Aplicando a fórmula do passo 2:
\tau = R\sin(2\theta) = 40,7\cdot \sin(23,48^\circ)
Agora calculamos \sin(23,48^\circ). Aproximação numérica:
\sin(23,48^\circ) \approx 0,3987
Portanto
\tau \approx 40,7\cdot 0,3987 \approx 16,23\\ \text{MPa}
Interpretação rápida: esse é o valor da tensão de cisalhamento no plano pedido (sinal positivo conforme convenção usada).

Passo 5

Calcular a tensão normal \sigma_{\mathrm{n}} no mesmo plano usando a fórmula:
\sigma_{\mathrm{n}} = C + R\cos(2\theta) = 12,5 + 40,7\cdot \cos(23,48^\circ)
Calculamos \cos(23,48^\circ):
\cos(23,48^\circ) \approx 0,9172
Logo
\sigma_{\mathrm{n}} \approx 12,5 + 40,7\cdot 0,9172 \approx 12,5 + 37,33 \approx 49,83\\ \text{MPa}

Passo 6

A tensão normal no plano perpendicular ( \sigma_{\mathrm{t}}) pode ser obtida por duas vias equivalentes. Usando a fórmula direta:
\sigma_{\mathrm{t}} = C - R\cos(2\theta) = 12,5 - 40,7\cdot 0,9172 \approx 12,5 - 37,33 \approx -24,83\\ \text{MPa}
Verificação rápida (consistência): \sigma_{\mathrm{n}} + \sigma_{\mathrm{t}} = \sigma_1 + \sigma_3 = 25,0\\ \text{MPa}, e de fato 49,83 + (-24,83) = 25,0. Além disso, a tensão de cisalhamento no plano perpendicular tem mesmo módulo e sinal oposto: \tau_{\perp} = -\tau.

Passo 7

Resumo do método para a prova (pequeno tutorial prático):
  • Calcule C=(\sigma_1+\sigma_3)/2 e R=(\sigma_1-\sigma_3)/2.
  • Calcule 2\theta.
  • Use \tau = R\sin(2\theta) e \sigma_{\mathrm{n}} = C + R\cos(2\theta).
  • A outra normal é \sigma_{\mathrm{t}} = C - R\cos(2\theta).
    Isso é rápido e evita ter de derivar tudo durante a prova — memorizando o significado de C e R você aplica direto.

Resposta

\tau \approx 16,23\\ \text{MPa}
\sigma_{\mathrm{n}} \approx 49,83\\ \text{MPa}
\sigma_{\mathrm{t}} \approx -24,83\\ \text{MPa}

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