Um canal trapezoidal com inclinaçōes laterais de 2 (horizontal) para 1 (vertical) deve transportar uma vazăo de 16,6 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. Para uma largura de base (leito) de 3,6 \mathrm{~m}, calcule:
a) A profundidade critica
b) A velocidade crítica

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) calcular a profundidade crítica;
  • (b) calcular a velocidade crítica.
Dados fornecidos:
Q = 16{,}6\\ \mathrm{m^3/s},
\text{largura da base } b = 3{,}6\\ \mathrm{m},
\text{inclinação lateral } 2 \text{ (horizontal)} \; \text{para}\; 1 \text{ (vertical)} \Rightarrow z = 2.çã
Vou usar essas informações para achar a profundidade crítica \,y_c e, em seguida, a velocidade crítica V_c.

Passo 2

Conceito e fórmula fundamental (explicação didática):
A condição de escoamento crítico em canal aberto ocorre quando o número de Froude é igual a 1. Para um canal genérico a condição crítica pode ser escrita em forma prática como
Q^{2} = g \, \frac{A^{3}}{T},
onde:
  • Q é a vazão (m³/s);
  • g é a aceleração da gravidade (vou usar g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}});
  • A é a área da seção molhada (m²), função da profundidade y;
  • T é a largura superficial (top width), também função de y, dado por T=\dfrac{dA}{dy}.
Breve justificativa da fórmula (sem jargões): a condição Fr=1 leva, substituindo V=Q/A e D_h=A/T, a Q^2 = g A^3 / T. Essa é a equação que vamos resolver para y_c.

Passo 3

Geometria da seção trapezoidal (expressões em função de y):
Para um trapézio simétrico com base b e taludes z (horizontal por vertical) temos:
A(y) = b\,y + z\,y^{2}
T(y) = b + 2z\,y
No nosso caso b=3{,}6 e z=2, portanto:
A(y) = 3{,}6\,y + 2\,y^{2},
T(y) = 3{,}6 + 4\,y.

Passo 4

Equação a resolver:
Substituindo em Q^{2} = g\,A^{3}/T obtemos a equação em y:
f(y) \equiv g\big(3{,}6y + 2y^{2}\big)^{3} - Q^{2}\big(3{,}6 + 4y\big) = 0.
Essa equação é não-linear (alto grau) em y e precisa ser resolvida numericamente.

Passo 5

Escolha do método numérico e por quê:
Vou usar o método de Newton–Raphson porque é rápido e convergente quando temos uma boa aproximação inicial. Também mostro a intuição para uma aproximação inicial: para um canal retangular com mesma base b, a profundidade crítica aproximada seria
y_{c,\text{ret}} = \Big(\dfrac{Q^{2}}{g\,b^{2}}\Big)^{1/3},
isso dá uma estimativa inicial razoável. Para o nosso problema:
y_{c,\text{ret}} \approx \Big(\dfrac{16{,}6^{2}}{9{,}81\cdot 3{,}6^{2}}\Big)^{1/3}\approx 1{,}296\\ \mathrm{m},
mas, como os taludes aumentam a seção, a profundidade real será menor que isso. Vou partir de uma aproximação inicial y_{0}=1{,}05\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Preparando Newton–Raphson:
Precisamos de f(y) e de f'(y). Já temos f(y). Derivando:
A(y)=3{,}6y+2y^{2},\quad T(y)=3{,}6+4y,
\frac{dA}{dy}=T(y),\quad \frac{dT}{dy}=4.
Derivada de f:
f'(y)=g\cdot 3A^{2}\frac{dA}{dy} - Q^{2}\frac{dT}{dy} = g\cdot 3A^{2}T(y) - 4Q^{2}.
Regra do passo Newton:
y_{n+1} = y_{n} - \dfrac{f(y_{n})}{f'(y_{n})}.

Passo 7

Iterações numéricas (cálculos mostrados passo a passo):
Constantes: \;g=9{,}81, \;Q^{2}=16{,}6^{2}=275{,}56.
Iteração 1 com y_{0}=1{,}05:
A(1{,}05)=3{,}6\cdot1{,}05+2\cdot(1{,}05)^{2}=5{,}985\\ \mathrm{m^{2}},
T(1{,}05)=3{,}6+4\cdot1{,}05=7{,}8\\ \mathrm{m}.
f(1{,}05)=9{,}81\cdot(5{,}985)^{3}-275{,}56\cdot7{,}8\approx -46{,}2605,
f'(1{,}05)=9{,}81\cdot 3\cdot(5{,}985)^{2}\cdot7{,}8 -4\cdot275{,}56 \approx 7120{,}436.
y_{1}=1{,}05 - \dfrac{-46{,}2605}{7120{,}436}\approx 1{,}056496.
Iteração 2 com y_{1}=1{,}056496:
A(1{,}056496)\approx 6{,}035748\\ \mathrm{m^{2}},
T(1{,}056496)\approx 7{,}825984\\ \mathrm{m},
f(1{,}056496)\approx 0{,}53389,
f'(1{,}056496)\approx 7288{,}329.
y_{2}=1{,}056496 - \dfrac{0{,}53389}{7288{,}329}\approx 1{,}056423.
A correção ficou muito pequena; a solução já convergiu com boa precisão. Tomamos como profundidade crítica:
y_{c}\approx 1{,}056\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Cálculo da velocidade crítica (explicação e conta):
A velocidade média é V = Q/A. Para a profundidade crítica y_{c} calculada, usemos a área correspondente:
A_{c}=A(y_{c}) = 3{,}6\cdot 1{,}056423 + 2\cdot(1{,}056423)^{2} \approx 6{,}03517\\ \mathrm{m^{2}}.
Logo a velocidade crítica é
V_{c}=\dfrac{Q}{A_{c}}=\dfrac{16{,}6}{6{,}03517}\approx 2{,}751\\ \mathrm{m/s}.

Passo 9

Verificação rápida (consistência): substituindo y_{c} nas duas partes da equação crítica obtém-se praticamente igualdade entre gA^{3} e Q^{2}T, o que confirma que o resultado é coerente (Froude ≈ 1).

Resposta

(a) y_{c}=1{,}056\\ \mathrm{m}
(b) V_{c}=2{,}751\\ \mathrm{m/s}

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