Um canal trapezoidal com inclinaçōes laterais de 2 (horizontal) para 1 (vertical) deve transportar uma vazăo de
. Para uma largura de base (leito) de
, calcule:
a) A profundidade critica
b) A velocidade crítica
a) A profundidade critica
b) A velocidade crítica
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) calcular a profundidade crítica;
- (b) calcular a velocidade crítica.
Dados fornecidos:
Vou usar essas informações para achar a profundidade crítica
e, em seguida, a velocidade crítica
.
Passo 2
Conceito e fórmula fundamental (explicação didática):
A condição de escoamento crítico em canal aberto ocorre quando o número de Froude é igual a 1. Para um canal genérico a condição crítica pode ser escrita em forma prática como
A condição de escoamento crítico em canal aberto ocorre quando o número de Froude é igual a 1. Para um canal genérico a condição crítica pode ser escrita em forma prática como
onde:
-
é a vazão (m³/s); -
é a aceleração da gravidade (vou usar ); -
é a área da seção molhada (m²), função da profundidade ; -
é a largura superficial (top width), também função de , dado por .
Breve justificativa da fórmula (sem jargões): a condição
leva, substituindo
e
, a
. Essa é a equação que vamos resolver para
.
Passo 3
Geometria da seção trapezoidal (expressões em função de
):
Para um trapézio simétrico com base e taludes
(horizontal por vertical) temos:
Para um trapézio simétrico com base
No nosso caso
e
, portanto:
Passo 4
Equação a resolver:
Substituindo em obtemos a equação em
:
Substituindo em
Essa equação é não-linear (alto grau) em
e precisa ser resolvida numericamente.
Passo 5
Escolha do método numérico e por quê:
Vou usar o método de Newton–Raphson porque é rápido e convergente quando temos uma boa aproximação inicial. Também mostro a intuição para uma aproximação inicial: para um canal retangular com mesma base , a profundidade crítica aproximada seria
Vou usar o método de Newton–Raphson porque é rápido e convergente quando temos uma boa aproximação inicial. Também mostro a intuição para uma aproximação inicial: para um canal retangular com mesma base
isso dá uma estimativa inicial razoável. Para o nosso problema:
mas, como os taludes aumentam a seção, a profundidade real será menor que isso. Vou partir de uma aproximação inicial
.
Passo 6
Preparando Newton–Raphson:
Precisamos de e de
. Já temos
. Derivando:
Precisamos de
Derivada de
:
Regra do passo Newton:
Passo 7
Iterações numéricas (cálculos mostrados passo a passo):
Constantes:
,
.
Iteração 1 com
:
Iteração 2 com
:
A correção ficou muito pequena; a solução já convergiu com boa precisão. Tomamos como profundidade crítica:
Passo 8
Cálculo da velocidade crítica (explicação e conta):
A velocidade média é . Para a profundidade crítica
calculada, usemos a área correspondente:
A velocidade média é
Logo a velocidade crítica é
Passo 9
Verificação rápida (consistência): substituindo
nas duas partes da equação crítica obtém-se praticamente igualdade entre
e
, o que confirma que o resultado é coerente (Froude ≈ 1).
Resposta
(a)
(b)
(b)