Em um círculo de Mohr, as tensões principais valem
e
. Determinar: 1) a posição dos planos principais em relação a outro onde a tensão de cisalhamento vale
) Qual a tensão normal (
) neste plano e a tensão normal (
) no plano perpendicular a ele.
Passo 1
O enunciado dá as tensões principais e pede duas coisas. Dados fornecidos:
e diz que existe um plano onde a tensão de cisalhamento vale
O que nos pedem:
- A posição (orientação) dos planos principais em relação a esse plano onde
. - A tensão normal
nesse plano e a tensão normal no plano perpendicular a ele.
Passo 2
Primeiro cálculo útil: a tensão média (centro do círculo de Mohr) e o raio do círculo (que é a máxima tensão de cisalhamento). As fórmulas e seus significados:
a média é o ponto médio entre as tensões principais; e
o raio é a metade da diferença entre as tensões principais e corresponde à máxima tensão de cisalhamento possível. Vamos calcular numérico:
Interpretação: a máxima tensão de cisalhamento que qualquer plano pode ter sob esse estado é
.
Passo 3
Verificação de consistência dos dados: o enunciado dá
no plano em questão. Comparando com o máximo encontrado:
Isto significa que, com os valores dados de
e
, não existe nenhum plano no corpo que apresente cisalhamento
: o cisalhamento máximo possível é
. Em termos matemáticos, a equação que relaciona
e o ângulo
(ângulo entre o plano considerado e o plano principal associado a
) é
Como o módulo de
não pode exceder 1, tem-se
. Aqui
dada viola essa desigualdade, logo não existe solução real para
.
Passo 4
Explicação didática da fórmula usada e do significado dos termos (passo-a-passo):
- Seja
o ângulo medido no corpo entre a direção do plano principal onde atua e a normal ao plano onde queremos as tensões. - No círculo de Mohr (ferramenta geométrica), um deslocamento angular físico
corresponde a um deslocamento angular de no círculo. Por isso aparecem funções de . - As fórmulas padrão (que usaremos caso haja solução) são:
Aqui
é a tensão normal no plano que forma ângulo
com o plano de
, e
é a tensão de cisalhamento nesse mesmo plano.
Passo 5
Tentar resolver para
com o valor dado de
. A partir de
substituindo números:
Como
não pode ser maior do que
, não há solução real. Conclusão direta: não existe plano real com
dados os
e
fornecidos.
Passo 6
Solução prática e interpretação (o que fazer numa prova): frequentemente esse tipo de discrepância vem de arredondamento nos dados. A tensão de cisalhamento dada (
) está muito próxima do máximo possível
. Então é razoável tratar dois casos:
- Caso exato (com
maior que o máximo): não há solução real — responder isso é correto e mostra verificação física dos dados. - Caso de arredondamento (adotar
como aproximação): isso corresponde ao plano de cisalhamento máximo, para o qual , ou seja e
Nesse caso
e, pela fórmula de
,
O plano perpendicular a esse terá a mesma tensão normal (porque para
ambas as direções normais correspondem ao ponto médio do círculo), então
Interpretação física: no plano de cisalhamento máximo as tensões normais em ambos os planos mutuamente perpendiculares valem a média entre as tensões principais.
Passo 7
Resumo final do que vale responder numa prova:
- Se o enunciado for tomado literalmente, a resposta correta é que não existe plano real com
porque . - Se o enunciado tiver um pequeno erro de arredondamento e a intenção for o plano de cisalhamento máximo, então o plano está a
dos planos principais e ambas as tensões normais pedidas valem .
Resposta
- Não existe plano real para
, pois ; (se houver arredondamento, o plano de fica a dos planos principais). -
e .