Em um círculo de Mohr, as tensões principais valem \sigma 1=37,6 \mathrm{MPa} e \sigma 3= 22,6 \mathrm{MPa}. Determinar: 1) a posição dos planos principais em relação a outro onde a tensão de cisalhamento vale 7,6 \mathrm{MPa} ; 2 ) Qual a tensão normal ( \sigma_{\mathrm{n}} ) neste plano e a tensão normal ( \sigma_{\mathrm{t}} ) no plano perpendicular a ele.

Passo 1

O enunciado dá as tensões principais e pede duas coisas. Dados fornecidos:
\sigma_1=37{,}6\\ \mathrm{MPa},\qquad \sigma_3=22{,}6\\ \mathrm{MPa},
e diz que existe um plano onde a tensão de cisalhamento vale
\tau=7{,}6\\ \mathrm{MPa}.
O que nos pedem:
  1. A posição (orientação) dos planos principais em relação a esse plano onde \tau=7{,}6\\ \mathrm{MPa}.
  2. A tensão normal \sigma_{\mathrm{n}} nesse plano e a tensão normal \sigma_{\mathrm{t}} no plano perpendicular a ele.

Passo 2

Primeiro cálculo útil: a tensão média (centro do círculo de Mohr) e o raio do círculo (que é a máxima tensão de cisalhamento). As fórmulas e seus significados:
\text{tensão média } = \frac{\sigma_1+\sigma_3}{2},ãé
a média é o ponto médio entre as tensões principais; e
\text{raio } = \frac{\sigma_1-\sigma_3}{2},
o raio é a metade da diferença entre as tensões principais e corresponde à máxima tensão de cisalhamento possível. Vamos calcular numérico:
\frac{\sigma_1+\sigma_3}{2}=\frac{37{,}6+22{,}6}{2}=\frac{60{,}2}{2}=30{,}1\\ \mathrm{MPa},
\frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}=\frac{37{,}6-22{,}6}{2}=\frac{15{,}0}{2}=7{,}5\\ \mathrm{MPa}.
Interpretação: a máxima tensão de cisalhamento que qualquer plano pode ter sob esse estado é \tau_{\max}=7{,}5\\ \mathrm{MPa}.

Passo 3

Verificação de consistência dos dados: o enunciado dá \tau=7{,}6\\ \mathrm{MPa} no plano em questão. Comparando com o máximo encontrado:
\tau=7{,}6\\ \mathrm{MPa}>\tau_{\max}=7{,}5\\ \mathrm{MPa}.
Isto significa que, com os valores dados de \sigma_1 e \sigma_3, não existe nenhum plano no corpo que apresente cisalhamento \tau=7{,}6\\ \mathrm{MPa}: o cisalhamento máximo possível é 7{,}5\\ \mathrm{MPa}. Em termos matemáticos, a equação que relaciona \tau e o ângulo \theta (ângulo entre o plano considerado e o plano principal associado a \sigma_1) é
\tau=\frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}\sin(2\theta).
Como o módulo de \sin(2\theta) não pode exceder 1, tem-se \tau\le \dfrac{\sigma_1-\sigma_3}{2}. Aqui \tau dada viola essa desigualdade, logo não existe solução real para \theta.

Passo 4

Explicação didática da fórmula usada e do significado dos termos (passo-a-passo):
  • Seja \theta o ângulo medido no corpo entre a direção do plano principal onde atua \sigma_1 e a normal ao plano onde queremos as tensões.
  • No círculo de Mohr (ferramenta geométrica), um deslocamento angular físico \theta corresponde a um deslocamento angular de 2\theta no círculo. Por isso aparecem funções de 2\theta.
  • As fórmulas padrão (que usaremos caso haja solução) são:
\sigma_{\mathrm{n}}=\frac{\sigma_1+\sigma_3}{2}+\frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}\cos(2\theta),
\tau=\frac{\sigma_1-\sigma_3}{2}\sin(2\theta).
Aqui \sigma_{\mathrm{n}} é a tensão normal no plano que forma ângulo \theta com o plano de \sigma_1, e \tau é a tensão de cisalhamento nesse mesmo plano.

Passo 5

Tentar resolver para \theta com o valor dado de \tau. A partir de
\sin(2\theta)=\frac{2\tau}{\sigma_1-\sigma_3},
substituindo números:
\sin(2\theta)=\frac{2\cdot 7{,}6}{37{,}6-22{,}6}=\frac{15{,}2}{15{,}0}=1{,}0133\ldots
Como \sin(2\theta) não pode ser maior do que 1, não há solução real. Conclusão direta: não existe plano real com \tau=7{,}6\\ \mathrm{MPa} dados os \sigma_1 e \sigma_3 fornecidos.

Passo 6

Solução prática e interpretação (o que fazer numa prova): frequentemente esse tipo de discrepância vem de arredondamento nos dados. A tensão de cisalhamento dada ( 7{,}6\\ \mathrm{MPa}) está muito próxima do máximo possível 7{,}5\\ \mathrm{MPa}. Então é razoável tratar dois casos:
  • Caso exato (com \tau maior que o máximo): não há solução real — responder isso é correto e mostra verificação física dos dados.
  • Caso de arredondamento (adotar \tau=\tau_{\max}=7{,}5\\ \mathrm{MPa} como aproximação): isso corresponde ao plano de cisalhamento máximo, para o qual \sin(2\theta)=1, ou seja 2\theta=90^\circ e
\theta=45^\circ.
Nesse caso \cos(2\theta)=0 e, pela fórmula de \sigma_{\mathrm{n}},
\sigma_{\mathrm{n}}=\frac{\sigma_1+\sigma_3}{2}=30{,}1\\ \mathrm{MPa}.
O plano perpendicular a esse terá a mesma tensão normal (porque para \cos(2\theta)=0 ambas as direções normais correspondem ao ponto médio do círculo), então
\sigma_{\mathrm{t}}=30{,}1\\ \mathrm{MPa}.
Interpretação física: no plano de cisalhamento máximo as tensões normais em ambos os planos mutuamente perpendiculares valem a média entre as tensões principais.

Passo 7

Resumo final do que vale responder numa prova:
  • Se o enunciado for tomado literalmente, a resposta correta é que não existe plano real com \tau=7{,}6\\ \mathrm{MPa} porque \tau_{\max}=7{,}5\\ \mathrm{MPa}.
  • Se o enunciado tiver um pequeno erro de arredondamento e a intenção for o plano de cisalhamento máximo, então o plano está a \,45^\circ dos planos principais e ambas as tensões normais pedidas valem 30{,}1\\ \mathrm{MPa}.

Resposta

  1. Não existe plano real para \tau=7{,}6\\ \mathrm{MPa}, pois \tau_{\max}=(\sigma_1-\sigma_3)/2=7{,}5\\ \mathrm{MPa}; (se houver arredondamento, o plano de \tau_{\max} fica a 45^\circ dos planos principais).
  2. \sigma_{\mathrm{n}}=30{,}1\\ \mathrm{MPa} e \sigma_{\mathrm{t}}=30{,}1\\ \mathrm{MPa}.

Exercícios relacionados