Um canal retangular tem 1,20 m de largura. Quais são as duas profundidades nas quais é possível ter um escoamento de 3,5 m^3 / s de água, com uma energia específica de 2,86 mca?

Passo 1

O exercício pede para a gente achar as duas profundidades em que um canal retangular (largura b=1,20,m) transporta vazão Q=3,5,m³/s com energia específica E=2,86,mca.
Conteúdo: Mecânica dos fluidos – escoamento em canal aberto e energia específica.
O que vamos usar:
  • Definição de energia específica: E = y + v^22g,
    onde v=Q/(b,y) é a velocidade média.
    - Montar a equação em y e resolver (fica um polinômio de 3º grau).

Passo 2

Escrevendo tudo em função de y:
  1. Velocidade média: v = QA = Qb,y
    2. Substituindo em E = y + v^2/(2g), vem
    $$E = y + \frac{1}{2g}\Bigl(\frac{Q}{b,y}\Bigr)^2
    = y + \frac{Q^2}{2\,g\,b^2\,y^2}.$$  
    
  2. Colocando E = y + 12gl(Qb,yr)^2 = y + Q^22,g,b^2,y^2m, E=2,86,m³/s, Q=3,5,m e b=1,20,m/s²: g=9,81,
    4. Define
    2,86 = y + (3,5)^22cdot9,81cdot(1,20)^2,y^2Multiplicando por k = (3,5)^22cdot9,81cdot(1,20)^2approx0,4338: y^2

Passo 3

Agora a gente resolve o polinômio
f(y)=y^3 - 2,86,y^2 + 0,4338=0
Como não dá fatorar fácil, vamos achar as raízes positivas por tentativa / refinamento:
  1. Raiz pequena (escoamento supercrítico):
    • Testa y=0,4,m: f(0,4)=0,4^3-2,86cdot0,4^2+0,4338approx+0,04
      - Testa y=0,42,m:
      $$f(0,42)\approx+0,0034,\quadf(0,422)\approx-0,0004. f(0,42)approx+0,0034, f(0,422)approx-0,0004y_1\approx0{,}4215m.$$

Passo 4

  1. Raiz grande (escoamento subcrítico):
    • Testa y=2,8,m: f(2,8)approx-0,0522
      - Testa y=2,81,m:
      f(2,81)approx+0,0508
    Refinando entre 2,804 e 2,807, achamos y2approx2,805 m

Resposta

As profundidades que satisfazem Q=3,5,m³/s e E=2,86,m são aproximadamente
boxedy1approx0,42:me y2approx2,81:m

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