Um canal retangular tem uma largura de
e veicula uma vazão de
com uma profundidade de 1,60 m. Em uma certa seção uma elevação suave com topo chato e altura de
é proposta. Calcular a mudança na superfície dágua com a introdução da elevação. Desprezar perdas de carga.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos um canal retangular com largura b=2,0 m, fluxo Q=4,80 m³/s e profundidade uniforme y₁=1,60 m. Aí a gente levanta o fundo numa seção em ΔZ=0,10 m (elevação suave, sem perdas de carga) e quer saber como muda a superfície d’água.
Conteúdo: escoamento aberto, continuidade e conservação de energia (equação de Bernoulli adaptada para escoamento aberto). Vamos usar:
Conteúdo: escoamento aberto, continuidade e conservação de energia (equação de Bernoulli adaptada para escoamento aberto). Vamos usar:
- eq. da continuidade: Q=b·y·V
- eq. da energia específica (Specific Energy):
E = y + V²/(2g)
Passo 2
Primeiro achamos a velocidade antes da elevação.
Pela continuidade:
V₁ = Q/(b·y₁)
Substituindo:
V₁ = 4{,}80 m³/s / (2,0 m·1,60 m) = 4{,}80/3{,}2 = 1{,}50 m/s
Pela continuidade:
V₁ = Q/(b·y₁)
Substituindo:
V₁ = 4{,}80 m³/s / (2,0 m·1,60 m) = 4{,}80/3{,}2 = 1{,}50 m/s
Passo 3
Agora calculamos a energia específica na seção 1 (antes da elevação):
E₁ = y₁ + V₁²/(2g)
Com g=9,81 m/s²:
V₁²/(2g) = (1{,}50)²/(2·9,81) ≈ 2{,}25/19{,}62 ≈ 0{,}1147 m
Logo
E₁ = 1{,}60 + 0{,}1147 = 1{,}7147 m
E₁ = y₁ + V₁²/(2g)
Com g=9,81 m/s²:
V₁²/(2g) = (1{,}50)²/(2·9,81) ≈ 2{,}25/19{,}62 ≈ 0{,}1147 m
Logo
E₁ = 1{,}60 + 0{,}1147 = 1{,}7147 m
Passo 4
Como não tem perda de carga mas o fundo sobe ΔZ=0,10 m, a energia específica na crista vale
E₂ = E₁ – ΔZ = 1{,}7147 – 0{,}10 = 1{,}6147 m
E₂ = E₁ – ΔZ = 1{,}7147 – 0{,}10 = 1{,}6147 m
Passo 5
Em volta da crista o Q é o mesmo, então V₂ depende de y₂ e b. A eq. da energia fica:
E₂ = y₂ + V₂²/(2g)
e V₂ = Q/(b·y₂), logo
E₂ = y₂ + [Q²/(2g·b²·y₂²)].
Chamando A = Q²/(2g·b²) = (4{,}80)²/(2·9,81·2,0²) ≈ 0,2936, temos
1,6147 = y₂ + 0,2936/y₂²
E₂ = y₂ + V₂²/(2g)
e V₂ = Q/(b·y₂), logo
E₂ = y₂ + [Q²/(2g·b²·y₂²)].
Chamando A = Q²/(2g·b²) = (4{,}80)²/(2·9,81·2,0²) ≈ 0,2936, temos
1,6147 = y₂ + 0,2936/y₂²
Passo 6
Agora resolvemos 1,6147 = y₂ + 0,2936/y₂². Montamos f(y₂)=y₂+0,2936/y₂²–1,6147 e buscamos y₂ que zere f. Por tentativa:
- y₂=1,50 → f≈+0,016
- y₂=1,48 → f≈–0,0006
Interpolando, chega-se em y₂≈1,480 m
Passo 7
A elevação do fundo Z₂=0,10 m, então a cota da superfície na crista é
η₂ = Z₂ + y₂ = 0,10 + 1,480 = 1,580 m
Antes da elevação, η₁ = y₁ + Z₁ e Z₁=0, então η₁=1,60 m.
η₂ = Z₂ + y₂ = 0,10 + 1,480 = 1,580 m
Antes da elevação, η₁ = y₁ + Z₁ e Z₁=0, então η₁=1,60 m.
Passo 8
A mudança na superfície d’água é
Δη = η₂ – η₁ = 1,580 – 1,600 = –0,020 m
Δη = η₂ – η₁ = 1,580 – 1,600 = –0,020 m
Resposta
A superfície d’água na crista fica cerca de 0,02 m abaixo da cota original (queda de 2 cm).