Um canal de seção circular preenchido até a metade de seu diâmetro (semi-circular) e aberto para a atmosfera, possui declividade de 1,5 \%, executado em concreto armado, cujo coeficiente de Chézy é 80 (dimensão \mathrm{L}^{0,5} \mathrm{~T}^{-1} ). Determine qual a vazão de água capaz de escoar nesse canal em regime permanente e uniforme, considere o diâmetro do canal de 1,2 \mathrm{~m}. Calcule também a tensão trativa provocada na parede do canal. Considere número pi, \pi=3 ; \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. ( 2,0 pontos)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Determinar a vazão de água capaz de escoar em regime permanente e uniforme no canal semi‑circular preenchido até metade do diâmetro.
  • Calcular a tensão trativa (esforço cortante) provocada na parede do canal.
Dados fornecidos (peguei diretamente do enunciado):
  • Diâmetro do canal: D=1,2\\ \mathrm{m}.
  • Canal preenchido até metade do diâmetro (ou seja, profundidade de água igual a D/2).
  • Declividade (inclinação): S=1{,}5\% = 0{,}015.
  • Coeficiente de Chézy: C=80 (unidade \mathrm{L}^{0{,}5}\mathrm{T}^{-1}, aqui \mathrm{m}^{1/2}/\mathrm{s}).
  • Valor de \pi a usar: \pi=3.
  • Aceleração da gravidade: g=10\\ \mathrm{m/s^2}.
    Assumo densidade da água padrão \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3} (não fornecida explicitamente, é a usual em exercícios), então o peso específico \gamma=\rho g=1000\cdot10=10000\\ \mathrm{N/m^3}.

Passo 2

Entender a geometria do escoamento (muito importante para achar área e raio hidráulico).
  • O canal é circular de diâmetro D e está preenchido até a metade: isso corresponde exatamente a uma seção semicircular de raio a=\dfrac{D}{2}.
  • Calculemos o raio:
a=\dfrac{D}{2}=\dfrac{1{,}2}{2}=0{,}6\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Calcular a área molhada A da seção transversal (área da semicircunferência) e o perímetro molhado P (comprimento da curva em contato com a água).
  • Área da semicircunferência:
A=\tfrac{1}{2}\pi a^{2}.
Substituindo \pi=3 e a=0{,}6\\ \mathrm{m}:
a^{2}=0{,}6^{2}=0{,}36, \qquad A=\tfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 0{,}36 = 0{,}5\cdot 1{,}08 = 0{,}54\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Perímetro molhado (arco da semicircunferência):
P=\tfrac{1}{2}\cdot(2\pi a)=\pi a.
Com \pi=3 e a=0{,}6:
P=3\cdot 0{,}6 = 1{,}8\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular o raio hidráulico R, que é a razão entre área molhada e perímetro molhado:
R=\dfrac{A}{P}.
Substituindo os valores obtidos:
R=\dfrac{0{,}54}{1{,}8}=0{,}3\\ \mathrm{m}.
Observação útil (para fixar): em uma secção semicircular cheia até a linha média, dá-se R=\dfrac{a}{2}=\dfrac{D}{4}. Aqui D/4=1{,}2/4=0{,}3\\ \mathrm{m}, confirma o resultado.

Passo 5

Recordar e aplicar a fórmula de Chézy para velocidade média em escoamento uniforme:
  • Fórmula de Chézy:
V=C\sqrt{R\,S},
onde:
  • V é a velocidade média (m/s),
  • C é o coeficiente de Chézy (m^{1/2}/s),
  • R é o raio hidráulico (m),
  • S é a declividade da linha de energia (adota‑se igual à declividade do canal em escoamento uniforme).
Substituindo C=80, R=0{,}3\\ \mathrm{m} e S=0{,}015:
R\,S=0{,}3\cdot 0{,}015 = 0{,}0045,
\sqrt{R\,S}=\sqrt{0{,}0045}\approx 0{,}0670820393,
V = 80\cdot 0{,}0670820393 \approx 5{,}366563\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando razoavelmente: V\approx 5{,}37\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Calcular a vazão Q usando Q=A\cdot V.
Temos A=0{,}54\\ \mathrm{m^2} e V\approx 5{,}36656\\ \mathrm{m/s}:
Q = 0{,}54\cdot 5{,}366563\approx 2{,}897944\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Arredondando: Q\approx 2{,}90\\ \mathrm{m^{3}/s}.

Passo 7

Agora calcular a tensão trativa na parede do canal (tensão de cisalhamento provocada pelo escoamento).
  • Fórmula básica para tensão trativa média na superfície molhada (ou na base em canal aberto) em escoamento uniforme:
\tau_{0}=\gamma\,R\,S,
onde \gamma é o peso específico da água ( \gamma=\rho g). Usamos \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} e g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}, então \gamma=10000\\ \mathrm{N/m^{3}}.
  • Substituindo valores:
\tau_{0}=10000\cdot 0{,}3\cdot 0{,}015=10000\cdot 0{,}0045=45\\ \mathrm{N/m^{2}}.
Ou seja, \tau_{0}=45\\ \mathrm{Pa}.

Passo 8

Verificação rápida de ordem de grandeza (bom hábito em prova):
  • Velocidade V\sim 5{,}4\\ \mathrm{m/s} é alta, mas coerente com um canal bastante inclinada ( 1{,}5\%) e Chézy grande (80, bom revestimento).
  • Vazão Q\sim 2{,}9\\ \mathrm{m^3/s} faz sentido para área \sim0{,}54\\ \mathrm{m^2} e essa velocidade.
  • Tensão trativa \tau_{0}=45\\ \mathrm{Pa} é razoável (valores típicos variam conforme declividade e profundidade).

Resposta

Q\approx 2{,}90\\ \mathrm{m^{3}/s}
\tau_{0}=45\\ \mathrm{N/m^{2}}

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