Uma parede plana, com 15 cm de espessura, tem uma condutividade térmica fornecida pela relação k=2+0,0005 T \mathrm{~W} / \mathrm{mK}, onde T é expressa em kelvin.
Se uma superficie da parede for mantida a 150^{\circ} \mathrm{C} e a outra a 50^{\circ} \mathrm{C}, determine a taxa de transferência de calor por metro quadrado. Desenhe a distribuição de temperatura através da parede.

Passo 1

O enunciado dá uma parede plana de espessura 15\\ \text{cm} cuja condutividade térmica depende da temperatura segundo
k(T)=2+0{,}0005\,T\quad\text{(W/m·K)},
onde T está em kelvin. Uma face da parede é mantida a 150^\circ\text{C} e a outra a 50^\circ\text{C}.
Vou listar claramente o que nos foi pedido e os dados numéricos (peguei as temperaturas do enunciado e converti para kelvin):
  • Espessura da parede: \;L=0{,}15\\ \text{m}.
  • Temperatura na face quente: \;T_h=150^\circ\text{C}=150+273{,}15=423{,}15\\ \text{K}.
  • Temperatura na face fria: \;T_c=50^\circ\text{C}=50+273{,}15=323{,}15\\ \text{K}.
  • Condutividade: \;k(T)=2+0{,}0005\,T\\ \text{W/m·K}.
O que é pedido:
  1. Determinar a taxa de transferência de calor por metro quadrado (ou seja, o fluxo de calor por unidade de área \dot q'', em \text{W/m}^2).
  2. Desenhar (ou descrever matematicamente) a distribuição de temperatura através da parede — isto é, encontrar T(x) para 0\le x\le L, onde x é a distância medida a partir da face quente.

Passo 2

Física e equações básicas (aulas rápidas e mastigadas):
  • Em regime estacionário, unidimensional e sem geração interna, o fluxo de calor por condução é constante através da parede e dado pela lei de Fourier:
\dot q'' = -k(T)\,\frac{dT}{dx}.
Aqui \dot q'' é o fluxo de calor (positiva no sentido do fluxo de calor do quente para o frio), k(T) é a condutividade em W/m·K, T é a temperatura em K e x é a posição em m.
  • Como k depende de T, não podemos simplesmente usar a fórmula linear \dot q'' = -k\,\Delta T / L. Em vez disso, usamos a forma integral obtida ao separar variáveis:
dx = -\frac{k(T)}{\dot q''}\,dT,
e integramos x de 0 a L enquanto T varia de T_h até T_c. Isso dá:
L = -\frac{1}{\dot q''}\int_{T_h}^{T_c} k(T)\,dT.
Para obter um \dot q'' positivo conveniente, mais prático é inverter os limites:
\dot q'' = \frac{1}{L}\int_{T_c}^{T_h} k(T)\,dT.
Explicando: a integral \int_{T_c}^{T_h} k(T)\,dT dá uma “condutância térmica integrada” entre as temperaturas; dividindo por L obtemos o fluxo por unidade de área.

Passo 3

Calcular a integral \displaystyle \int_{T_c}^{T_h} k(T)\,dT. Substituindo k(T)=2+0{,}0005\,T,
\int_{T_c}^{T_h} k(T)\,dT = \int_{T_c}^{T_h}\left(2+0{,}0005\,T\right)dT.
Calcule a integral termo a termo:
\int_{T_c}^{T_h} 2\,dT = 2\,(T_h-T_c),
\int_{T_c}^{T_h} 0{,}0005\,T\,dT = 0{,}0005\cdot\frac{T^2}{2}\Big|_{T_c}^{T_h} = 0{,}00025\,(T_h^2-T_c^2).
Então
\int_{T_c}^{T_h} k(T)\,dT = 2\,(T_h-T_c) + 0{,}00025\,(T_h^2-T_c^2).
Agora substituo os valores numéricos (peguei T_h e T_c da lista no Passo 1):
T_h-T_c = 423{,}15 - 323{,}15 = 100\\ \text{K}.
E
T_h^2-T_c^2 = (T_h-T_c)(T_h+T_c) = 100\,(423{,}15+323{,}15)=100\cdot 746{,}30 = 74\,630.
Portanto a integral vale
\int_{T_c}^{T_h} k(T)\,dT = 2\cdot 100 + 0{,}00025\cdot 74\,630 = 200 + 18{,}6575 = 218{,}6575\\ \text{(W·K/m)}.
(Unidade da integral é W·K/m entretanto ao dividir por L obtemos W/m².)

Passo 4

Calcular o fluxo por unidade de área:
\dot q'' = \frac{1}{L}\int_{T_c}^{T_h} k(T)\,dT = \frac{218{,}6575}{0{,}15}\\ \text{W/m}^2.
Fazendo a divisão:
\dot q'' = 1457{,}716\ldots\\ \text{W/m}^2.
Arredondando com razoável precisão:
\dot q'' \approx 1{,}458\times 10^{3}\\ \text{W/m}^2.
Interpretação física rápida: aproximadamente 1{,}46\\ \text{kW} atravessa cada metro quadrado da parede do lado quente para o lado frio, no regime estacionário.

Passo 5

Encontrar a distribuição de temperatura T(x) (a “curva” solicitada).
Partimos da lei de Fourier com k(T):
\dot q'' = -k(T)\frac{dT}{dx}.
Separamos as variáveis:
dx = -\frac{k(T)}{\dot q''}\,dT.
Integramos de x=0 (face quente, T=T_h) até uma posição genérica x (temperatura T):
x = -\frac{1}{\dot q''}\int_{T_h}^{T} k(T')\,dT'.
Usando a forma integrável de k,
\int_{T_h}^{T}\bigl(2+0{,}0005\,T'\bigr)dT' = 2(T-T_h)+0{,}00025\,(T^2-T_h^2).
Portanto
x = -\frac{1}{\dot q''}\Bigl[\,2(T-T_h)+0{,}00025\,(T^2-T_h^2)\Bigr].
Multiplicando ambos os lados por \dot q'' e rearranjando, obtemos uma equação quadrática em T:
0{,}00025\,T^2 + 2\,T + \bigl(\dot q''\,x - 0{,}00025\,T_h^2 - 2\,T_h\bigr)=0.
Isto é uma equação do tipo aT^2 + bT + c(x)=0 com
a=0{,}00025,\quad b=2,\quad c(x)=\dot q''\,x - 0{,}00025\,T_h^2 - 2\,T_h.
Resolvendo pela fórmula de Bhaskara (quadrática), o ramo físico (aquele que dá T(0)=T_h) é
T(x)=\frac{-b+\sqrt{b^2-4a\,c(x)}}{2a} =\frac{-2+\sqrt{4-0{,}001\bigl(\dot q''\,x-0{,}00025\,T_h^2-2\,T_h\bigr)}}{0{,}0005}.
No uso prático: substituir \dot q'' numérico e T_h=423{,}15\\ \text{K} para obter T em função de x. Por exemplo, usando \dot q''=1457{,}716\\ \text{W/m}^2:
  • Em x=0: a fórmula recupera T(0)=T_h=423{,}15\\ \text{K}.
  • Em x=L/2=0{,}075\\ \text{m} obtém-se (fazendo as contas) T(0{,}075)\approx 373{,}99\\ \text{K} (aprox.\ 100{,}84^\circ\text{C}).
  • Em x=L=0{,}15\\ \text{m} obtém-se T(L)=T_c=323{,}15\\ \text{K}.
Observações sobre a forma da distribuição: como k(T) aumenta com T, a temperatura não varia linearmente com x; a curva é côncava no sentido de mostrar queda mais acentuada perto do lado frio (porque condutividade menor lá) e queda menos acentuada perto do lado quente (condutividade maior lá). Os valores numéricos apontados mostram exatamente isso: temperatura decai de 423{,}15\\ \text{K} para 323{,}15\\ \text{K} e o ponto médio tem temperatura cerca de 373{,}99\\ \text{K}, não simplesmente a média aritmética.

Passo 6

Resumo final do procedimento para a prova (receita rápida, para decorar):
  • Identifique que k depende de T → usar separação de variáveis em Fourier.
  • Escreva \dot q'' = -k(T)\,dT/dx e integre para obter \dot q'' = \dfrac{1}{L}\int_{T_c}^{T_h} k(T)\,dT.
  • Calcule a integral analiticamente (no caso polinomial em T, fica simples).
  • Para a distribuição T(x), integre de T_h até T(x) e inverta a relação (vai dar uma quadrática em T porque a integral de k(T) contém T^2) — escolha a raiz física que satisfaça T(0)=T_h.

Resposta

\dot q'' \approx 1{,}458\times10^{3}\\ \text{W/m}^2
T(x)=\frac{-2+\sqrt{\,4-0{,}001\bigl(\dot q''\,x-0{,}00025\,T_h^{2}-2\,T_h\bigr)\,}}{0{,}0005},\quad\text{com }\dot q''=1457{,}716\\ \text{W/m}^2,\\ T_h=423{,}15\\ \text{K},\\\ 0\le x\le0{,}15\\ \text{m}.

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