Dimensionar um canal trapezoidal ( \mathrm{B}, \mathrm{b} e sabendo que o mesmo deverá ser construido em concreto ( \mathrm{n}=0,014 ), talude 1: 1, declividade de 0,0001 \mathrm{~m} / \mathrm{m} e que, a profundidade deverá ser 75 \% do valor da base (b). A vazāo a ser escoada é de 10 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado pede que eu dimensione um canal trapezoidal em concreto (ou seja, com rugosidade de Manning conhecida) encontrando as dimensões da base e do topo, sabendo que a profundidade é dada em função da base. Dados e incógnitas fornecidos:
  • Vazão: \displaystyle Q=10\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Rugosidade (Manning): \displaystyle n=0{,}014.
  • Declividade do fundo: \displaystyle S=0{,}0001 (m/m).
  • Talude lateral: \displaystyle 1:1. Vou usar z=1 para o parâmetro do talude (horizontal por unidade vertical).
  • Relação entre profundidade e base: a profundidade deverá ser 75\% do valor da base. Em símbolos: \displaystyle y=0{,}75\,b.
  • Incógnitas para dimensionar: a largura da base \displaystyle b (m) e a largura superior \displaystyle B (m). Também vou calcular a profundidade \displaystyle y correspondente para apresentar o projeto completo.

Passo 2

Apresento a fórmula fundamental que vamos usar (fórmula de Manning), explicando cada termo:
\displaystyle Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2}.
Onde:
  • \displaystyle Q é a vazão (m³/s).
  • \displaystyle n é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional).
  • \displaystyle A é a área da seção molhada (m²).
  • \displaystyle R é o raio hidráulico (m), definido como \displaystyle R=\dfrac{A}{P}.
  • \displaystyle P é o perímetro molhado (m).
  • \displaystyle S é a declividade (m/m).
Vou aplicar essa equação ao canal trapezoidal, escrevendo A e P em função de b e y e depois usar a relação \displaystyle y=0{,}75\,b para eliminar y e obter uma equação em b.

Passo 3

Fórmulas geométricas para canal trapezoidal com talude z (horizontal/vertical), base b e profundidade y:
  • Largura superior:
\displaystyle B = b + 2 z y.
Com z=1 fica \displaystyle B = b + 2y.
  • Área da seção molhada:
\displaystyle A = b\,y + z\,y^{2}.
Com z=1 fica
\displaystyle A = b\,y + y^{2}.
  • Perímetro molhado:
\displaystyle P = b + 2\,y\,\sqrt{1+z^{2}}.
Com z=1 fica
\displaystyle P = b + 2\,y\,\sqrt{2}.
  • Raio hidráulico:
\displaystyle R=\frac{A}{P}.
Vou agora substituir a relação \displaystyle y=0{,}75\,b nessas fórmulas para escrever A, P e R apenas em função de b.

Passo 4

Substituindo \displaystyle y=0{,}75\,b nas expressões:
  • Área:
\displaystyle A = b\,y + y^{2} = b(0{,}75b) + (0{,}75b)^{2} = 0{,}75\,b^{2} + 0{,}5625\,b^{2} = 1{,}3125\,b^{2}.
  • Perímetro:
\displaystyle P = b + 2\,y\,\sqrt{2} = b + 2(0{,}75b)\sqrt{2} = b\big(1 + 1{,}5\sqrt{2}\big).
Vou calcular numericamente o fator \displaystyle 1 + 1{,}5\sqrt{2}:
\displaystyle \sqrt{2}\approx 1{,}41421356\quad\Rightarrow\quad 1 + 1{,}5\sqrt{2}\approx 1 + 2{,}12132034 = 3{,}12132034.
Logo
\displaystyle P \approx 3{,}12132034\,b.
  • Raio hidráulico:
\displaystyle R=\frac{A}{P}=\frac{1{,}3125\,b^{2}}{3{,}12132034\,b}=\left(\frac{1{,}3125}{3{,}12132034}\right)b.
Calculo do coeficiente:
\displaystyle \frac{1{,}3125}{3{,}12132034}\approx 0{,}420274.
Assim
\displaystyle R\approx 0{,}420274\,b.

Passo 5

Substituo A e R na equação de Manning. Relembrando que \displaystyle S^{1/2}=\sqrt{0{,}0001}=0{,}01.
A equação fica:
\displaystyle Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2}.
Substituindo n=0{,}014, A=1{,}3125\,b^{2}, R=0{,}420274\,b e S^{1/2}=0{,}01:
\displaystyle 10 = \frac{1}{0{,}014}\,\big(1{,}3125\,b^{2}\big)\,\big(0{,}420274\,b\big)^{2/3}\,(0{,}01).
Vou reorganizar para isolar b^{8/3} (observe que b^{2}\cdot b^{2/3}=b^{8/3}).

Passo 6

Escrevo a constante multiplicativa separada. Primeiro note:
\displaystyle \big(0{,}420274\,b\big)^{2/3} = (0{,}420274)^{2/3}\,b^{2/3}.
Portanto:
\displaystyle 10 = \frac{1}{0{,}014}\cdot 1{,}3125 \cdot (0{,}420274)^{2/3} \cdot 0{,}01 \cdot b^{2}\cdot b^{2/3}.
\displaystyle 10 = C \cdot b^{8/3},
onde
\displaystyle C = \frac{1}{0{,}014}\cdot 1{,}3125 \cdot (0{,}420274)^{2/3} \cdot 0{,}01.
Agora calculo numericamente C.

Passo 7

Cálculo numérico dos termos:
  • Primeiro (0{,}420274)^{2/3}. Faço por etapas: (0{,}420274)^{2}\approx 0{,}17663. A raiz cúbica de 0{,}17663 dá aproximadamente 0{,}5614. Logo
\displaystyle (0{,}420274)^{2/3}\approx 0{,}5614.
  • Agora 1/n = 1/0{,}014 \approx 71{,}428571.
  • Multiplico:
\displaystyle C \approx 71{,}428571 \times 1{,}3125 \times 0{,}5614 \times 0{,}01.
Faço em partes: 71{,}428571\times 0{,}01 = 0{,}71428571.
\displaystyle 1{,}3125\times 0{,}5614 \approx 0{,}7368375.
\displaystyle C \approx 0{,}71428571 \times 0{,}7368375 \approx 0{,}526026.
Portanto a equação fica
\displaystyle 10 \approx 0{,}526026 \, b^{8/3}.
Isolando b^{8/3}:
\displaystyle b^{8/3} \approx \frac{10}{0{,}526026} \approx 19{,}0136.
Agora extraio b:
\displaystyle b = \big(19{,}0136\big)^{3/8}.
Calculo numérico:
\displaystyle \ln(19{,}0136)\approx 2{,}9444,\quad \frac{3}{8}\cdot 2{,}9444 \approx 1{,}10415,
\displaystyle b \approx e^{1{,}10415}\approx 3{,}016\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Com \displaystyle b encontrado, calculo a profundidade \displaystyle y e a largura superior \displaystyle B:
  • Profundidade:
\displaystyle y = 0{,}75\,b \approx 0{,}75\times 3{,}016 \approx 2{,}262\\ \mathrm{m}.
  • Largura superior:
\displaystyle B = b + 2y = b + 2(0{,}75b)=b(1+1{,}5)=2{,}5\,b.
\displaystyle B \approx 2{,}5\times 3{,}016 \approx 7{,}540\\ \mathrm{m}.

Passo 9

Verificação rápida (substituir os valores de volta na fórmula de Manning para conferir que a vazão fica próxima de 10\\ \mathrm{m^{3}/s}):
  • Área:
\displaystyle A = 1{,}3125\,b^{2}\approx 1{,}3125\times(3{,}016)^{2}\approx 11{,}937\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Perímetro:
\displaystyle P \approx 3{,}12132034\times 3{,}016 \approx 9{,}418\\ \mathrm{m}.
  • Raio hidráulico:
\displaystyle R=\frac{A}{P}\approx \frac{11{,}937}{9{,}418}\approx 1{,}2677\\ \mathrm{m}.
  • Manning:
\displaystyle Q=\frac{1}{0{,}014}\,A\,R^{2/3}\,0{,}01 \approx 71{,}4286\times 11{,}937\times (1{,}2677)^{2/3}\times 0{,}01 \approx 9{,}98\\ \mathrm{m^{3}/s},
que está muito próximo de \displaystyle 10\\ \mathrm{m^{3}/s} (diferença por arredondamentos numéricos). Portanto o projeto está coerente.

Resposta

\displaystyle b \approx 3{,}016\\ \mathrm{m}
\displaystyle y \approx 2{,}262\\ \mathrm{m}
\displaystyle B \approx 7{,}540\\ \mathrm{m}

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