Um canal trapezoidal com largura de fundo igual a 1,50 \mathrm{~m}, altura de água 1,5 \mathrm{me} inclinação dos taludes 1 \mathrm{H}: 1 \mathrm{~V} transporta uma vazão de 5,5 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. Em uma determinada seção, existe uma transição passando para uma seção circular, com o mesmo nível de fundo da seção trapezoidal. Para evitar a deposição de sedimentos, deseja-se estabelecer escoamento tão rápido quanto possível na seção circular, sem afetar as condições do escoamento a montante. Desprezando as perdas de carga, determine o diâmetro necessário à seção circular.

Passo 1

O enunciado descreve um canal trapezoidal com base b=1{,}50,m, altura de água y=1{,}50,m e taludes 1\!\text{H}:1\!\text{V}, que transporta Q=5{,}5, m^{3}/s. A jusante há uma transição para uma seção circular (aberta), com mesmo nível de fundo e sem perdas de carga, e queremos que a velocidade nesta seção seja a máxima possível sem alterar o escoamento a montante. Para isso usamos:
1. equação de energia entre as seções (mesma cota de fundo, sem perda):
y_{\rm up}+\frac{V_{\rm up}^2}{2g} \;=\; y_{\rm circ}+\frac{V_{\rm circ}^2}{2g}
2. continuidade Q=A\cdot V.
Para maximizar V_{\rm circ} sem afetar montante, basta usar todo o “head energético” em velocidade, ou seja, fazer y_{\rm circ} tão pequeno quanto a geometria permitir. O máximo de V_{\rm circ} ocorre quando a energia disponível vai toda para a cabeça de velocidade:
\frac{V_{\max}^2}{2g} = y_{\rm up}+\frac{V_{\rm up}^2}{2g} \,.

Passo 2

Calcular área e velocidade no trapézio e o “head energético” H.
A largura superior do trapézio é
B = b + 2y = 1{,}50 + 2\cdot1{,}50 = 4{,}50\text{ m}.
A área é
A_{\rm up} = \frac{b + B}{2}\,y = \frac{1{,}50 + 4{,}50}{2}\cdot1{,}50 = 4{,}50\text{ m}^2.
Logo
V_{\rm up} = \frac{Q}{A_{\rm up}} = \frac{5{,}5}{4{,}50} \approx1{,}222\text{ m/s}.
E o head energético em relação ao fundo vale
H = y_{\rm up} + \frac{V_{\rm up}^2}{2g} = 1{,}50 + \frac{1{,}222^2}{2\cdot9{,}81} \approx1{,}576\text{ m}.

Passo 3

Determinar a velocidade máxima possível usando todo o head em velocidade:
\frac{V_{\max}^2}{2g} = H \quad\Longrightarrow\quad V_{\max} = \sqrt{2g\,H} = \sqrt{2\cdot9{,}81\cdot1{,}576} \approx5{,}56\text{ m/s}.

Passo 4

Da continuidade na seção circular (aberta), temos
A_{\rm circ} = \frac{Q}{V_{\max}} = \frac{5{,}5}{5{,}56} \approx0{,}99\text{ m}^2.

Passo 5

Para um círculo de diâmetro D, A_{\rm circ}=\pi D^2/4. Logo
\frac{\pi D^2}{4} = 0{,}99 \;\Longrightarrow\; D^2 = \frac{4\cdot0{,}99}{\pi} \;\Longrightarrow\; D = \sqrt{\frac{3{,}96}{\pi}} \approx1{,}12\text{ m}.

Resposta

O diâmetro necessário é aproximadamente D = 1{,}12,m.

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