Um reservatório de grandes dimensões alimenta um aqueduto circular aberto de 2 m de diâmetro, \mathrm{n}=0,015 e declividade 0,002 \mathrm{~m} / \mathrm{m}. Sabendo que o fundo do aqueduto na seção de saída do reservatório está 1,15 \mathrm{~m} abaixo do nível da água deste, e que a
perda de carga na entrada do aqueduto é cerca de 10 \% da energia disponível a montante, determine a vazão.

Passo 1

A questão trata de um escoamento permanente e uniforme em canal aberto de secção circular parcialmente cheia. O reservatório fornece uma carga de 1{,}15,m acima do invertimento do canal na entrada, mas há uma perda local de 10\% dessa energia. Em seguida, o escoamento desenvolve-se até atingir regime uniforme, onde a energia disponível remanescente se reparte entre o nível d’água y e a velocidade v. Usaremos:
– Equação de perda na entrada: h_L=0{,}10\,h.
– Balanço de energia entre o espelho livre do reservatório e a entrada do canal.
– Equação de energia específica em regime uniforme:
H \;=\; y \;+\;\frac{v^2}{2g}
– Fórmula de Manning para v:
v \;=\;\frac{1}{n}\,R^{2/3}\,S^{1/2}
– Geometria de secção circular parcial: área A(y) e perímetro molhado P(y).

Passo 2

Calculemos primeiro a carga útil que chega ao interior do canal. Até a extremidade do diâmetro estávamos com
h \;=\;1{,}15\mathrm{\,m},
mas 10\% disso se perde localmente, logo a carga remanescente é
H \;=\;h - h_L \;=\;1{,}15 - 0{,}10\cdot1{,}15 \;=\;1{,}15\,(1 - 0{,}10) \;=\;1{,}15\cdot0{,}90 \;=\;1{,}035\mathrm{\,m}.

Passo 3

Em regime uniforme, essa carga H se expressa como
H \;=\;y \;+\;\frac{v^2}{2g},
onde y é a profundidade de escoamento e v a velocidade média. Paralelamente, pela fórmula de Manning temos
v \;=\;\frac{1}{n}\,R^{2/3}\,S^{1/2},
com n=0{,}015, S=0{,}002 e R = A/P dependente de y.

Passo 4

Para cada profundidade y (menor que o diâmetro D=2,m), calcula-se:
  1. Ângulo central do segmento molhado:
\theta(y) = 2\,\operatorname{arccos}\!\Bigl(\frac{R - y}{R}\Bigr), \quad R=\frac{D}{2}=1\mathrm{\,m}.
  1. Área do segmento:
A(y) = \frac{R^2}{2}\,\bigl[\theta(y) - \sin\theta(y)\bigr].
  1. Perímetro molhado:
P(y) = R\,\theta(y).
  1. Raio hidráulico:
R_h(y) = \frac{A(y)}{P(y)}.
  1. Velocidade por Manning:
v(y) = \frac{1}{0{,}015}\,R_h(y)^{2/3}\,\sqrt{0{,}002}.
  1. Carga específica:
H_{\rm calc}(y) = y + \frac{v(y)^2}{2g}.

Passo 5

Faz-se então um método iterativo (ou tentativa e erro) para achar y tal que
H_{\rm calc}(y) = 1{,}035\mathrm{\,m}.
Testando alguns valores:
– Para y=1{,}00 m obtém-se H_{\rm calc}\approx1{,}180 m (muito alto).
– Para y=0{,}80 m obtém-se H_{\rm calc}\approx0{,}947 m (muito baixo).
Refinando entre esses limites, achamos a profundidade aproximada
y \approx 0{,}876\mathrm{\,m},
que faz H_{\rm calc}\approx1{,}035 m.

Passo 6

Com y=0{,}876 m, calculamos A e v:
– Área aproximada: A\approx1{,}324 m^{2}.
– Raio hidráulico R_h\approx0{,}458 m.
– Velocidade de escoamento:
v \;=\;\frac{1}{0{,}015}\,(0{,}458)^{2/3}\,\sqrt{0{,}002} \;\approx\;1{,}77\mathrm{\,m/s}.

Passo 7

Finalmente, a vazão é
Q = A\,v \;\approx\;1{,}324\;\times\;1{,}77 \;\approx\;2{,}34\mathrm{\,m^3/s}.

Resposta

A vazão no aqueduto é aproximadamente 2{,}34, m^{3}/s.

Exercícios relacionados