Um canal vertical tem profundidade de 4 m . A pressão da água a uma profundidade
, medida a partir da superfície, é dada por
Por causa do formato do canal, sua largura horizontal diminui com a profundidade segundo
, em metros. Calcule a força total exercida pela água sobre uma parede vertical do canal, entre a superfície e a profundidade de 4 m .
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tudo pegado do enunciado):
- Profundidade total considerada:
. - Pressão da água a uma profundidade
(medida a partir da superfície): em que está em metros. - Largura horizontal do canal à profundidade
:
A pergunta é: calcular a força total exercida pela água sobre uma parede vertical do canal entre a superfície (
) e a profundidade
.
Passo 2
Ideia física e diferencial: pressão é força por unidade de área. Para uma pequena faixa horizontal da parede, com espessura (altura)
localizada na profundidade
, a área dessa faixa é
A força sobre essa faixa é pressão vezes área:
Unidades checam:
em
,
em
,
em
→ produto em N, certo.
Passo 3
Substituindo as expressões dadas para
e
:
A força total é a soma (integração) dessas contribuições de
até
:
Aqui
tem unidade de newtons (
).
Passo 4
Vamos calcular a integral. Primeiro fatoramos a constante:
Para integrar
usamos integração por partes. Escolhemos:
Então
Aplicando integração por partes
:
Isso é
A última integral é
, logo
Passo 5
Substituindo a primitiva no cálculo definido:
Avaliaremos a expressão nas extremidades:
- Em
: - Em
:
Portanto
Fatorando
, fica uma forma compacta: