Um canal vertical tem profundidade de 4 m . A pressão da água a uma profundidade y, medida a partir da superfície, é dada por
p(y)=9800 y N / m^{2}
Por causa do formato do canal, sua largura horizontal diminui com a profundidade segundo L(y)=3 e^{-\frac{y}{4}}, em metros. Calcule a força total exercida pela água sobre uma parede vertical do canal, entre a superfície e a profundidade de 4 m .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo pegado do enunciado):
  • Profundidade total considerada: \,4\\ \text{m}.
  • Pressão da água a uma profundidade y (medida a partir da superfície): p(y)=9800\,y\\ \text{N/m}^{2}, em que y está em metros.
  • Largura horizontal do canal à profundidade y: L(y)=3 e^{-\frac{y}{4}}\\ \text{m}.
A pergunta é: calcular a força total exercida pela água sobre uma parede vertical do canal entre a superfície ( y=0) e a profundidade \,y=4\\ \text{m}.

Passo 2

Ideia física e diferencial: pressão é força por unidade de área. Para uma pequena faixa horizontal da parede, com espessura (altura) \,dy localizada na profundidade y, a área dessa faixa é
dA=L(y)\,dy.
A força sobre essa faixa é pressão vezes área:
dF = p(y)\,dA = p(y)\,L(y)\,dy.
Unidades checam: p(y) em \text{N/m}^2, L(y) em \text{m}, dy em \text{m} → produto em N, certo.

Passo 3

Substituindo as expressões dadas para p(y) e L(y):
dF = \big(9800\,y\big)\cdot\big(3 e^{-\frac{y}{4}}\big)\,dy = 29400\,y\,e^{-\frac{y}{4}}\,dy.
A força total é a soma (integração) dessas contribuições de y=0 até y=4:
F=\int_{0}^{4}29400\,y\,e^{-\frac{y}{4}}\,dy.
Aqui F tem unidade de newtons ( \text{N}).

Passo 4

Vamos calcular a integral. Primeiro fatoramos a constante:
F=29400\int_{0}^{4} y\,e^{-\frac{y}{4}}\,dy.
Para integrar \int y e^{-y/4} dy usamos integração por partes. Escolhemos:
u=y,\qquad dv=e^{-\frac{y}{4}}\,dy.
Então
du=dy,\qquad v=\int e^{-\frac{y}{4}}\,dy = -4 e^{-\frac{y}{4}}.
Aplicando integração por partes \int u\,dv = uv - \int v\,du:
\int y e^{-\frac{y}{4}}\,dy = y\cdot(-4 e^{-\frac{y}{4}}) - \int \big(-4 e^{-\frac{y}{4}}\big)\,dy.
Isso é
\int y e^{-\frac{y}{4}}\,dy = -4y e^{-\frac{y}{4}} + 4\int e^{-\frac{y}{4}}\,dy.
A última integral é \int e^{-y/4} dy = -4 e^{-y/4}, logo
\int y e^{-\frac{y}{4}}\,dy = -4y e^{-\frac{y}{4}} + 4\big(-4 e^{-\frac{y}{4}}\big) + C = -e^{-\frac{y}{4}}\big(4y+16\big) + C.

Passo 5

Substituindo a primitiva no cálculo definido:
F=29400\left[ -e^{-\frac{y}{4}}\big(4y+16\big)\right]_{0}^{4}.
Avaliaremos a expressão nas extremidades:
  • Em y=4: -e^{-1}\big(4\cdot4+16\big) = -e^{-1}\cdot 32.
  • Em y=0: -e^{0}\big(0+16\big) = -16.
Portanto
F=29400\Big( -\frac{32}{e} - (-16)\Big) =29400\Big(16 - \frac{32}{e}\Big).
Fatorando 29400\cdot 16 = 470400, fica uma forma compacta:
F = 470400\left(1-\frac{2}{e}\right)\\ \text{N}.

Resposta

F = 470400\!\left(1-\dfrac{2}{e}\right)\\ \text{N} \approx 1{,}2427\times 10^{5}\\ \text{N}

Exercícios relacionados