Desenhe áreas sob o gráfico da função
, que possuam os seguintes valores:
Passo 1
O enunciado pede para desenhar áreas sob o gráfico da função
, com
, que tenham área igual a
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A função é
definida para . - Queremos regiões cuja área (a área sob o gráfico e acima do eixo
, entre duas retas verticais) seja igual a . - Não há outras restrições (podemos escolher qualquer intervalo
com ).
Passo 2
Qual é a expressão da área sob a curva entre duas abscissas
e
(com
)?
A área é a integral definida
A área
Aqui
é a variável de integração,
e
são os limites esquerdo e direito do intervalo, e
é a área procurada.
Passo 3
Qual é a primitiva de
?
Sabendo que a derivada de é
, uma primitiva é
. Então, pela fórmula de Newton–Leibniz,
Sabendo que a derivada de
Explicando com calma:
significa o logaritmo natural de
. A diferença
mede a “razão” entre
e
na forma logarítmica.
Passo 4
Colocamos a condição da área ser igual a
. Então queremos resolver
Usando a propriedade dos logaritmos
, obtemos
Aplicando exponenciação em ambos os lados (ou seja,
), vem
Portanto a relação entre os limites é
Passo 5
Interpretação prática: para qualquer escolha de
a área sob
entre
e
é exatamente
. Essa é uma família infinita de intervalos que geram a área pedida.
Passo 6
Exemplos simples que dá para desenhar:
- Tomando
obtemos . Então a área entre e sob vale . Verificação rápida:
Observação numérica útil para desenhar:
, ou seja, o intervalo vai de
até cerca de
.
- Tomando
(ou seja, fixando a borda direita) obtemos . Então a área entre e também vale . Verificação:
Aqui
, então é um intervalo curto à esquerda de
, fácil de representar num desenho próximo à origem.
Passo 7
Como desenhar (passo a passo prático):
- Desenhe o eixo
positivo e o gráfico da hipérbole para (curva que decresce e tem assíntota em e ). - Marque duas retas verticais em
e tais que . - Sombreie a região entre a curva
, o eixo e as retas verticais e . Essa área será . - Exemplos práticos para rascunho: use
(área estendida para a direita) ou (área próxima da origem).
Passo 8
Observações finais e dicas para a prova:
- A ideia principal é lembrar que
e que áreas sob entre e dependem só da razão . - Para construir outras regiões com a mesma área, basta multiplicar
por para obter . - Se precisar de valores para desenhar, use as aproximações
, e . Força aí — dá pra fazer o desenho rapidinho!