Desenhe áreas sob o gráfico da função \frac{1}{x}, x>0, que possuam os seguintes valores:
e

Passo 1

O enunciado pede para desenhar áreas sob o gráfico da função \frac{1}{x}, com x>0, que tenham área igual a e.
Informações relevantes dadas:
  • A função é \dfrac{1}{x} definida para x>0.
  • Queremos regiões cuja área (a área sob o gráfico e acima do eixo x, entre duas retas verticais) seja igual a e.
  • Não há outras restrições (podemos escolher qualquer intervalo [a,b] com 0<a<b).

Passo 2

Qual é a expressão da área sob a curva entre duas abscissas a e b (com 0<a<b)?
A área A é a integral definida
A=\int_{a}^{b}\frac{1}{x}\,dx.
Aqui x é a variável de integração, a e b são os limites esquerdo e direito do intervalo, e A é a área procurada.

Passo 3

Qual é a primitiva de \dfrac{1}{x}?
Sabendo que a derivada de \ln x é 1/x, uma primitiva é \ln x. Então, pela fórmula de Newton–Leibniz,
\int_{a}^{b}\frac{1}{x}\,dx=\ln b-\ln a.
Explicando com calma: \ln b significa o logaritmo natural de b. A diferença \ln b-\ln a mede a “razão” entre b e a na forma logarítmica.

Passo 4

Colocamos a condição da área ser igual a e. Então queremos resolver
\ln b-\ln a=e.
Usando a propriedade dos logaritmos \ln b-\ln a=\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right), obtemos
\ln\!\left(\frac{b}{a}\right)=e.
Aplicando exponenciação em ambos os lados (ou seja, e^{(\cdot)}), vem
\frac{b}{a}=e^{e}.
Portanto a relação entre os limites é
b=a\,e^{e}.

Passo 5

Interpretação prática: para qualquer escolha de a>0 a área sob y=\dfrac{1}{x} entre x=a e x=b=a\,e^{e} é exatamente e. Essa é uma família infinita de intervalos que geram a área pedida.

Passo 6

Exemplos simples que dá para desenhar:
  • Tomando a=1 obtemos b=e^{e}. Então a área entre x=1 e x=e^{e} sob y=\dfrac{1}{x} vale e. Verificação rápida:
\int_{1}^{e^{e}}\frac{1}{x}\,dx=\ln\!\left(e^{e}\right)-\ln 1=e\cdot\ln e-0=e.
Observação numérica útil para desenhar: e^{e}\approx 15{,}154, ou seja, o intervalo vai de 1 até cerca de 15{,}15.
  • Tomando b=1 (ou seja, fixando a borda direita) obtemos a=e^{-e}. Então a área entre x=e^{-e} e x=1 também vale e. Verificação:
\int_{e^{-e}}^{1}\frac{1}{x}\,dx=\ln 1-\ln\!\left(e^{-e}\right)=0-(-e)=e.
Aqui e^{-e}\approx 0{,}0659, então é um intervalo curto à esquerda de 1, fácil de representar num desenho próximo à origem.

Passo 7

Como desenhar (passo a passo prático):
  1. Desenhe o eixo x positivo e o gráfico da hipérbole y=\dfrac{1}{x} para x>0 (curva que decresce e tem assíntota em x=0 e y=0).
  2. Marque duas retas verticais em x=a e x=b tais que b=a\,e^{e}.
  3. Sombreie a região entre a curva y=\dfrac{1}{x}, o eixo x e as retas verticais x=a e x=b. Essa área será e.
  4. Exemplos práticos para rascunho: use [1,e^{e}] (área estendida para a direita) ou [e^{-e},1] (área próxima da origem).

Passo 8

Observações finais e dicas para a prova:
  • A ideia principal é lembrar que \int \dfrac{1}{x}\,dx=\ln x e que áreas sob 1/x entre a e b dependem só da razão b/a.
  • Para construir outras regiões com a mesma área, basta multiplicar a por e^{e} para obter b.
  • Se precisar de valores para desenhar, use as aproximações e\approx2{,}718, e^{e}\approx15{,}154 e e^{-e}\approx0{,}0659. Força aí — dá pra fazer o desenho rapidinho!

Resposta

\text{Intervalos do tipo }[a,a\,e^{e}]\text{, com }a>0.
[1,e^{e}]
[e^{-e},1]

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