Traçar os lugares das raízes para o sistema de controle a malha fechada:
G(s)=K(s+9)s(s^2+4 s+11) H(s)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de sistemas de controle juntos! A tarefa é traçar o lugar das raízes para o sistema de malha fechada dado. Isso envolve entender como as raízes da equação característica do sistema se comportam conforme o ganho varia. Para isso, precisamos conhecer os conceitos de polos e zeros da função de transferência e como eles influenciam o lugar das raízes. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função de transferência em malha aberta, que é G(s) = K(s + 9)s(s^2 + 4s + 11) e H(s) = 1 . No caso, temos:
G(s)H(s) = K(s + 9)s(s^2 + 4s + 11)
Então, a função de transferência em malha aberta é:
Para traçar o lugar das raízes, precisamos conhecer os polos e zeros dessa função.

Passo 3

Vamos encontrar os zeros e polos de s + 9 = 0 implies s = -9 :
  • Zeros são os valores de s = 0 que fazem o numerador zero:
    s^2 + 4s + 11 = 0
    Então, temos um zero em s = -4 pm raiz16 - 442 = -4 pm raiz-282 = -2 pm jraiz7 .
  • Polos são os valores de que fazem o denominador zero:
    e
    Resolvendo a segunda equação quadrática:
    Portanto, temos polos em e .

Passo 4

Agora, vamos determinar o número de ramos no lugar das raízes. O número de ramos é igual ao número de polos. Aqui, temos 3 polos, então teremos 3 ramos no lugar das raízes.
Além disso, temos um zero e três polos, o que significa que haverá dois assimptotas no lugar das raízes, já que o número de assimptotas é dado por:
Número de Assimptotas = Número de Polos - Número de Zeros = 3 - 1 = 2 úúú

Passo 5

Vamos calcular o centroide das assimptotas, que é a média ponderada das posições dos polos menos a média das posições dos zeros. A fórmula é:
Centroide = sum Polos - sum ZerosNúmero de Assimptotas ú
Calculando:
sum Polos = 0 + (-2 + jraiz7) + (-2 - jraiz7) = -4
sum Zeros = -9
Então,
Centroide = -4 - (-9)2 = 52 = 2.5
A direção das assimptotas é dada por:
theta = (2k + 1)180^circNúmero de Assimptotas para k = 0, 1 ú
Para 2 assimptotas:
theta1 = (2(0) + 1)180^circ2 = 90^circ
theta2 = (2(1) + 1)180^circ2 = 270^circ

Passo 6

Agora, vamos identificar quais ramos do lugar das raízes começam e terminam em quais polos e zeros. No lugar das raízes:
  • Um ramo começa no zero em e vai para a assimptota.
  • Os outros dois ramos começam nos polos em e vão para as assimptotas.
Além disso, observamos que o sistema tem um ponto de quebra no eixo real entre os polos e o zero.

Passo 7

Com todas essas informações, podemos esboçar o lugar das raízes:
  1. Desenhe o eixo real com os polos em e , e o zero em .
  2. Trace as assimptotas a partir do centroide com os ângulos e .
  3. Conecte os polos aos zeros e siga as direções das assimptotas.
  4. Identifique as regiões de atracção dos ramos e os pontos de interseção com o eixo imaginário, se necessário.

Resposta

O lugar das raízes para o sistema de malha fechada apresenta três ramos:
  1. Um ramo parte do zero em e se dirige para a assimptota a .
  2. Dois ramos partem dos polos complexos em e seguem para as assimptotas a .
As assimptotas convergem no centroide no eixo real. O esboço final mostra como as raízes se movem conforme o ganho varia, aproximando-se das assimptotas nas extremidades.

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