Traçar os lugares das raízes para o sistema de controle a malha fechada:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de sistemas de controle juntos! A tarefa é traçar o lugar das raízes para o sistema de malha fechada dado. Isso envolve entender como as raízes da equação característica do sistema se comportam conforme o ganho
varia. Para isso, precisamos conhecer os conceitos de polos e zeros da função de transferência e como eles influenciam o lugar das raízes. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função de transferência em malha aberta, que é
. No caso, temos:
Então, a função de transferência em malha aberta é:
Para traçar o lugar das raízes, precisamos conhecer os polos e zeros dessa função.
Passo 3
Vamos encontrar os zeros e polos de
:
-
Zeros são os valores de
que fazem o numerador zero: Então, temos um zero em. -
Polos são os valores de
que fazem o denominador zero: eResolvendo a segunda equação quadrática:Portanto, temos polos eme .
Passo 4
Agora, vamos determinar o número de ramos no lugar das raízes. O número de ramos é igual ao número de polos. Aqui, temos 3 polos, então teremos 3 ramos no lugar das raízes.
Além disso, temos um zero e três polos, o que significa que haverá dois assimptotas no lugar das raízes, já que o número de assimptotas é dado por:
Passo 5
Vamos calcular o centroide das assimptotas, que é a média ponderada das posições dos polos menos a média das posições dos zeros. A fórmula é:
Calculando:
Então,
A direção das assimptotas é dada por:
Para 2 assimptotas:
Passo 6
Agora, vamos identificar quais ramos do lugar das raízes começam e terminam em quais polos e zeros. No lugar das raízes:
- Um ramo começa no zero em
e vai para a assimptota. - Os outros dois ramos começam nos polos em
e vão para as assimptotas.
Além disso, observamos que o sistema tem um ponto de quebra no eixo real entre os polos e o zero.
Passo 7
Com todas essas informações, podemos esboçar o lugar das raízes:
- Desenhe o eixo real com os polos em
e , e o zero em . - Trace as assimptotas a partir do centroide
com os ângulos e . - Conecte os polos aos zeros e siga as direções das assimptotas.
- Identifique as regiões de atracção dos ramos e os pontos de interseção com o eixo imaginário, se necessário.
Resposta
O lugar das raízes para o sistema de malha fechada apresenta três ramos:
- Um ramo parte do zero em
e se dirige para a assimptota a . - Dois ramos partem dos polos complexos em
e seguem para as assimptotas a .
As assimptotas convergem no centroide
no eixo real. O esboço final mostra como as raízes se movem conforme o ganho
varia, aproximando-se das assimptotas nas extremidades.