Q8: Calcule o determinante da matriz \left[\begin{array}{rrrr} 0 & 3 & 3 & 3 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & -5 & -3 & -7 \\\\ -1 & 2 & 2 & 0 \end{array}\right] (A) 13 (B) 11 (C) 12 (D) 14 Passo 1O enunciado pede para calcular o determinante da matriz A = \begin{bmatrix} 0 & 3 & 3 & 3 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & -5 & -3 & -7 \\\\ -1 & 2 & 2 & 0 \end{bmatrix} O conteúdo aplicado será o desenvolvimento de Laplace (cofatores) ao longo da primeira coluna, reduzindo o problema ao cálculo de determinantes 3\times3. Passo 2Aplicando desenvolvimento pela primeira coluna, temos \det(A) =\sum_{i=1}^{4}(-1)^{i+1}a_{i1}\det(M_{i1}) =-\det(M_{21})+\det(M_{31})+\det(M_{41}), pois a_{11}=0, a_{21}=1, a_{31}=1 e a_{41}=-1. Passo 3O menor M_{21} (eliminando linha 2, coluna 1) é M_{21}=\begin{bmatrix} 3 & 3 & 3\\\\ -5 & -3 & -7\\\\ 2 & 2 & 0 \end{bmatrix}. Usando regra de Sarrus ou cofatores: \det(M_{21}) =3\det\begin{bmatrix}-3 & -7\\\ 2 & 0\end{bmatrix} -3\det\begin{bmatrix}-5 & -7\\\ 2 & 0\end{bmatrix} +3\det\begin{bmatrix}-5 & -3\\\ 2 & 2\end{bmatrix} =3\cdot14-3\cdot14+3\cdot(-4)=-12. Passo 4O menor M_{31} (eliminando linha 3, coluna 1) é M_{31}=\begin{bmatrix} 3 & 3 & 3\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ -1 & 2 & 0 \end{bmatrix}, e \det(M_{31}) =3\det\begin{bmatrix}1 & 1\\\ 2 & 0\end{bmatrix} -3\det\begin{bmatrix}1 & 1\\\ -1 & 0\end{bmatrix} +3\det\begin{bmatrix}1 & 1\\\ -1 & 2\end{bmatrix} =3\cdot(-2)-3\cdot1+3\cdot3=0. Passo 5O menor M_{41} (eliminando linha 4, coluna 1) é M_{41}=\begin{bmatrix} 3 & 3 & 3\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ -5 & -3 & -7 \end{bmatrix}, e \det(M_{41}) =3\det\begin{bmatrix}1 & 1\\\ -3 & -7\end{bmatrix} -3\det\begin{bmatrix}1 & 1\\\ -5 & -7\end{bmatrix} +3\det\begin{bmatrix}1 & 1\\\ -5 & -3\end{bmatrix} =3\cdot(-4)-3\cdot(-2)+3\cdot2=0. Passo 6Substituindo em \det(A)=-\det(M_{21})+\det(M_{31})+\det(M_{41}) =-(-12)+0+0=12. Resposta(C) 12 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosUm canhão dispara uma bala com um vetor de velocidade inicial {\underset{\sim}{v}}_{0}=(150,200) \mathrm{m} / \mathrm{s}. O vetor aceleração devido à gravidade é \underset{\sim}{a}=(0,-9.8) \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}. Desprezando a resistência do ar: a) Determine o vetor velocidade \underset{\sim}{v}(t) e o vetor posição \underset{\sim}{r}(t) da bala após 5 segundos, considerando que ela partiu da origem. b) Em que instante de tempo a bala atinge sua altura máxima? (Dica: A componente vertical da velocidade é zero no ponto mais alto). Um canhão dispara uma bala com um vetor de velocidade inicial {\underset{\sim}{v}}_{0}=(150,200) \mathrm{m} / \mathrm{s}. O vetor aceleração devido à gravidade é \underset{\sim}{a}=(0,-9.8) \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}. Desprezando a resistência do ar: a) Determine o vetor velocidade \underset{\sim}{v}(t) e o vetor posição \underset{\sim}{r}(t) da bala após 5 segundos, considerando que ela partiu da origem. b) Em que instante de tempo a bala atinge sua altura máxima? (Dica: A componente vertical da velocidade é zero no ponto mais alto). Q9: O conjunto solução do sistema linear abaixo, \left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 3 & 0 \\\\ 1 & 0 & 5 & 0 \\\\ 1 & -3 & -1 & 0 \end{array}\right] é o complemento ortogonal de: (A) núcleo de \left[\begin{array}{rrr}1 & -1 & 3 \\\\ 1 & 0 & 5 \\\\ 1 & -3 & -1\end{array}\right]. (B) \operatorname{span}\{(1,1,1),(-1,0,-3),(3,5,-1)\}. Considere o sistema linear representado pela seguinte matriz aumentada: \left[\begin{array}{rr|r}1 & 2 & -1 \\\\ 2 & 8 & -3 \\\\ 2 & -4 & k\end{array}\right] O valor de k tal que o sistema tem solução é: (a) -1 (b) 0 (c) 1 (d) 2