Q8: Calcule o determinante da matriz
\left[\begin{array}{rrrr} 0 & 3 & 3 & 3 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & -5 & -3 & -7 \\\\ -1 & 2 & 2 & 0 \end{array}\right]
(A) 13
(B) 11
(C) 12
(D) 14

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
A = \begin{bmatrix} 0 & 3 & 3 & 3 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & -5 & -3 & -7 \\\\ -1 & 2 & 2 & 0 \end{bmatrix}
O conteúdo aplicado será o desenvolvimento de Laplace (cofatores) ao longo da primeira coluna, reduzindo o problema ao cálculo de determinantes 3\times3.

Passo 2

Aplicando desenvolvimento pela primeira coluna, temos
\det(A) =\sum_{i=1}^{4}(-1)^{i+1}a_{i1}\det(M_{i1}) =-\det(M_{21})+\det(M_{31})+\det(M_{41}),
pois a_{11}=0, a_{21}=1, a_{31}=1 e a_{41}=-1.

Passo 3

O menor M_{21} (eliminando linha 2, coluna 1) é
M_{21}=\begin{bmatrix} 3 & 3 & 3\\\\ -5 & -3 & -7\\\\ 2 & 2 & 0 \end{bmatrix}.
Usando regra de Sarrus ou cofatores:
\det(M_{21}) =3\det\begin{bmatrix}-3 & -7\\\ 2 & 0\end{bmatrix} -3\det\begin{bmatrix}-5 & -7\\\ 2 & 0\end{bmatrix} +3\det\begin{bmatrix}-5 & -3\\\ 2 & 2\end{bmatrix} =3\cdot14-3\cdot14+3\cdot(-4)=-12.

Passo 4

O menor M_{31} (eliminando linha 3, coluna 1) é
M_{31}=\begin{bmatrix} 3 & 3 & 3\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ -1 & 2 & 0 \end{bmatrix},
e
\det(M_{31}) =3\det\begin{bmatrix}1 & 1\\\ 2 & 0\end{bmatrix} -3\det\begin{bmatrix}1 & 1\\\ -1 & 0\end{bmatrix} +3\det\begin{bmatrix}1 & 1\\\ -1 & 2\end{bmatrix} =3\cdot(-2)-3\cdot1+3\cdot3=0.

Passo 5

O menor M_{41} (eliminando linha 4, coluna 1) é
M_{41}=\begin{bmatrix} 3 & 3 & 3\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ -5 & -3 & -7 \end{bmatrix},
e
\det(M_{41}) =3\det\begin{bmatrix}1 & 1\\\ -3 & -7\end{bmatrix} -3\det\begin{bmatrix}1 & 1\\\ -5 & -7\end{bmatrix} +3\det\begin{bmatrix}1 & 1\\\ -5 & -3\end{bmatrix} =3\cdot(-4)-3\cdot(-2)+3\cdot2=0.

Passo 6

Substituindo em
\det(A)=-\det(M_{21})+\det(M_{31})+\det(M_{41}) =-(-12)+0+0=12.

Resposta

(C) 12

Exercícios relacionados