5 - Um canhão dispara um projétil com uma velocidade inicial
e um ângulo
com a horizontal. No ponto mais alto da trajetória, o projétil explode em dois fragmentos de massas iguais. Um fragmento, cuja velocidade imediatamente após a explosão é zero, cai verticalmente. A que distância do canhão cai o outro fragmento, supondo que o terreno é plano e que a resistência do ar pode ser desprezada?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados fornecidos:
-
. -
. - No ponto mais alto da trajetória o projétil explode em dois fragmentos de massas iguais.
- Um fragmento tem velocidade imediatamente após a explosão igual a zero e cai verticalmente.
- Desprezam-se a resistência do ar e o terreno é plano.
-
- O que o enunciado pede:
- Determinar a que distância do canhão cai o outro fragmento (distância horizontal medida desde a posição do canhão até o ponto onde o outro fragmento atinge o solo).
- Observação importante (do enunciado/imagem): a explosão ocorre no ponto mais alto da trajetória — nesse ponto a componente vertical da velocidade antes da explosão é zero.
Passo 2
Vou decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical e explicar as fórmulas.
- Fórmulas de decomposição:
-
é a componente horizontal da velocidade inicial. -
é a componente vertical da velocidade inicial. - Explicação rápida: a velocidade inicial forma um ângulo
com a horizontal; projetando no triângulo retângulo obtem-se as componentes por coseno e seno.
-
- Cálculo numérico (usar
e ): -
, . -
-
-
Passo 3
Tempo até o ponto mais alto e coordenadas do ponto de explosão.
- Teoria: no movimento vertical com aceleração
, a velocidade vertical zera no topo. O tempo até o topo é dado por onde é a aceleração da gravidade (vou usar ). - Explicação: a velocidade vertical decresce linearmente com tempo por
; igualando a zero encontra-se .
- Explicação: a velocidade vertical decresce linearmente com tempo por
- Cálculo:
- Altura no topo:
- Fórmula (energia cinética vertical / cinemática): a altura máxima em relação ao lançamento é
- Explicação: vem de
com no topo.
- Explicação: vem de
- Cálculo:
- Fórmula (energia cinética vertical / cinemática): a altura máxima em relação ao lançamento é
- Posição horizontal do ponto de explosão:
- Fórmula:
. - Cálculo:
- Fórmula:
Passo 4
Como a explosão altera as velocidades — conservação do momento linear (passo físico) e consequência numérica.
- Conceito importante: a explosão é uma força interna ao sistema dos dois fragmentos; se a duração do evento é muito curta, o impulso externo (força da gravidade) na direção horizontal é desprezível durante a explosão, portanto o momento linear total na direção horizontal é conservado no instante imediatamente antes e imediatamente depois da explosão.
- Explicação didática: forças externas que mudam o momento linear precisam de tempo para aplicar impulso; uma explosão libera forças internas muito grandes por tempo muito curto — horizontalmente não houve tempo para a gravidade ou outras forças externas mudarem o momento total.
- Aplicação ao problema:
- Seja a massa total
e cada fragmento tenha massa . - Momento horizontal antes da explosão:
. - Depois da explosão um fragmento fica instantaneamente em repouso (velocidade imediata zero), portanto o outro fragmento deve carregar todo o momento horizontal:
- Daí
- Conclusão numérica:
- Observação: a componente vertical do momento total no instante da explosão é zero (antes da explosão a velocidade vertical é zero no topo); como não há impulso vertical significativo durante o evento, o fragmento que recebe momento horizontal tem componente vertical inicial zero também.
- Seja a massa total
Passo 5
Movimento do fragmento que continua com velocidade horizontal
e cálculo do alcance adicional.
- Situação inicial após explosão para esse fragmento:
- Posição inicial horizontal:
. - Altura inicial:
. - Velocidade inicial horizontal:
(constante, pois despreza-se resistência do ar). - Velocidade inicial vertical:
.
- Posição inicial horizontal:
- Tempo de queda até o solo:
- Fórmula para queda livre a partir de repouso vertical:
- Explicação: posição vertical
; acha-se quando .
- Explicação: posição vertical
- Cálculo:
- Nota: curiosamente
, o que é esperado pela simetria do lançamento sem resistência do ar.
- Nota: curiosamente
- Fórmula para queda livre a partir de repouso vertical:
- Distância horizontal percorrida após a explosão:
- Fórmula:
. - Cálculo:
- Fórmula:
Passo 6
Distância total do canhão até o ponto onde o outro fragmento cai e verificação.
- Distância total:
- Observação prática/simplificação: como
e , tem-se . Aqui . - Arredondando com três algarismos significativos: