5 - Um canhão dispara um projétil com uma velocidade inicial v_{0}=22 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e um ângulo \theta=35^{\circ} com a horizontal. No ponto mais alto da trajetória, o projétil explode em dois fragmentos de massas iguais. Um fragmento, cuja velocidade imediatamente após a explosão é zero, cai verticalmente. A que distância do canhão cai o outro fragmento, supondo que o terreno é plano e que a resistência do ar pode ser desprezada?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • v_{0}=22\\ \mathrm{m/s}.
    • \theta=35^\circ.
    • No ponto mais alto da trajetória o projétil explode em dois fragmentos de massas iguais.
    • Um fragmento tem velocidade imediatamente após a explosão igual a zero e cai verticalmente.
    • Desprezam-se a resistência do ar e o terreno é plano.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar a que distância do canhão cai o outro fragmento (distância horizontal medida desde a posição do canhão até o ponto onde o outro fragmento atinge o solo).
  • Observação importante (do enunciado/imagem): a explosão ocorre no ponto mais alto da trajetória — nesse ponto a componente vertical da velocidade antes da explosão é zero.

Passo 2

Vou decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical e explicar as fórmulas.
  • Fórmulas de decomposição:
    • v_{0x}=v_{0}\cos\theta é a componente horizontal da velocidade inicial.
    • v_{0y}=v_{0}\sin\theta é a componente vertical da velocidade inicial.
    • Explicação rápida: a velocidade inicial forma um ângulo \theta com a horizontal; projetando no triângulo retângulo obtem-se as componentes por coseno e seno.
  • Cálculo numérico (usar \cos35^\circ e \sin35^\circ):
    • \cos35^\circ\approx 0{,}819, \sin35^\circ\approx 0{,}574.
    • v_{0x}=22\cdot\cos35^\circ\approx 22\cdot0{,}819\approx 18{,}02\\ \mathrm{m/s}.
    • v_{0y}=22\cdot\sin35^\circ\approx 22\cdot0{,}574\approx 12{,}63\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Tempo até o ponto mais alto e coordenadas do ponto de explosão.
  • Teoria: no movimento vertical com aceleração -g, a velocidade vertical zera no topo. O tempo até o topo é dado por t_{\text{top}}=\frac{v_{0y}}{g},onde g é a aceleração da gravidade (vou usar g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}).
    • Explicação: a velocidade vertical decresce linearmente com tempo por v_y(t)=v_{0y}-gt; igualando a zero encontra-se t_{\text{top}}.
  • Cálculo: t_{\text{top}}=\frac{12{,}63}{9{,}8}\approx 1{,}288\\ \mathrm{s}.
  • Altura no topo:
    • Fórmula (energia cinética vertical / cinemática): a altura máxima em relação ao lançamento é h=\frac{v_{0y}^{2}}{2g}.
      • Explicação: vem de v_y^2=v_{0y}^2-2gh com v_y=0 no topo.
    • Cálculo: h=\frac{12{,}63^{2}}{2\cdot9{,}8}\approx\frac{159{,}45}{19{,}6}\approx 8{,}14\\ \mathrm{m}.
  • Posição horizontal do ponto de explosão:
    • Fórmula: x_{\text{top}}=v_{0x}\,t_{\text{top}}.
    • Cálculo: x_{\text{top}}=18{,}02\cdot1{,}288\approx 23{,}22\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Como a explosão altera as velocidades — conservação do momento linear (passo físico) e consequência numérica.
  • Conceito importante: a explosão é uma força interna ao sistema dos dois fragmentos; se a duração do evento é muito curta, o impulso externo (força da gravidade) na direção horizontal é desprezível durante a explosão, portanto o momento linear total na direção horizontal é conservado no instante imediatamente antes e imediatamente depois da explosão.
    • Explicação didática: forças externas que mudam o momento linear precisam de tempo para aplicar impulso; uma explosão libera forças internas muito grandes por tempo muito curto — horizontalmente não houve tempo para a gravidade ou outras forças externas mudarem o momento total.
  • Aplicação ao problema:
    • Seja a massa total M e cada fragmento tenha massa m=\dfrac{M}{2}.
    • Momento horizontal antes da explosão: P_{x,\text{antes}}=M v_{0x}.
    • Depois da explosão um fragmento fica instantaneamente em repouso (velocidade imediata zero), portanto o outro fragmento deve carregar todo o momento horizontal: m v' = M v_{0x}\quad\Rightarrow\quad \frac{M}{2} v' = M v_{0x}.
      • Daí
      v' = 2 v_{0x}.
    • Conclusão numérica: v'=2\cdot18{,}02\approx 36{,}04\\ \mathrm{m/s}.
    • Observação: a componente vertical do momento total no instante da explosão é zero (antes da explosão a velocidade vertical é zero no topo); como não há impulso vertical significativo durante o evento, o fragmento que recebe momento horizontal tem componente vertical inicial zero também.

Passo 5

Movimento do fragmento que continua com velocidade horizontal v' e cálculo do alcance adicional.
  • Situação inicial após explosão para esse fragmento:
    • Posição inicial horizontal: x_{\text{top}}.
    • Altura inicial: h.
    • Velocidade inicial horizontal: v' (constante, pois despreza-se resistência do ar).
    • Velocidade inicial vertical: 0.
  • Tempo de queda até o solo:
    • Fórmula para queda livre a partir de repouso vertical: h=\frac{1}{2}g\,t_{\text{queda}}^{2}\quad\Rightarrow\quad t_{\text{queda}}=\sqrt{\frac{2h}{g}}.
      • Explicação: posição vertical y(t)=h-\tfrac{1}{2}gt^{2}; acha-se t quando y=0.
    • Cálculo: t_{\text{queda}}=\sqrt{\frac{2\cdot 8{,}14}{9{,}8}}\approx\sqrt{1{,}660}\approx 1{,}288\\ \mathrm{s}.
      • Nota: curiosamente t_{\text{queda}}=t_{\text{top}}, o que é esperado pela simetria do lançamento sem resistência do ar.
  • Distância horizontal percorrida após a explosão:
    • Fórmula: \Delta x = v'\,t_{\text{queda}}.
    • Cálculo: \Delta x = 36{,}04\cdot 1{,}288\approx 46{,}44\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Distância total do canhão até o ponto onde o outro fragmento cai e verificação.
  • Distância total: x_{\text{total}}=x_{\text{top}}+\Delta x\approx 23{,}22+46{,}44\approx 69{,}66\\ \mathrm{m}.
  • Observação prática/simplificação: como x_{\text{top}}=v_{0x}t_{\text{top}} e \Delta x=2v_{0x}t_{\text{top}}, tem-se x_{\text{total}}=3v_{0x}t_{\text{top}}=3x_{\text{top}}. Aqui 3\cdot23{,}22\approx69{,}66\\ \mathrm{m}.
  • Arredondando com três algarismos significativos: x_{\text{total}}\approx 69{,}7\\ \mathrm{m}.

Resposta

69{,}7\\ \mathrm{m}

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