3 - Um esquiador de 60 kg parte do repouso a uma altura H = 35 m acima da extremidade de uma rampa para saltos de esqui e deixa a rampa fazendo um ângulo
com a horizontal. Despreze os efeitos da resistência do ar e suponha que a rampa não tenha atrito. Qual é a altura máxima h do salto em relação à extremidade da rampa?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado e a imagem nos dão (peguei estes dados da imagem enviada).
- Massa do esquiador:
(peguei da imagem). - Altura inicial em relação à extremidade da rampa:
(peguei da imagem). - Ângulo de lançamento da rampa em relação à horizontal:
(peguei da imagem). - Desprezar resistência do ar e atrito (dado do enunciado).
O enunciado pede: encontrar a altura máximado salto em relação à extremidade da rampa.
Passo 2
Entendimento físico e idéias que vamos usar (passo-a-passo didático).
- Primeiro: ao descer de altura
até a extremidade da rampa, a energia potencial gravitacional se transforma em energia cinética (não há atrito nem ar). Usaremos conservação de energia mecânica. - Segundo: ao deixar a rampa com velocidade
formando ângulo com a horizontal, o movimento do esquiador é um lançamento oblíquo (projetil). A altura máxima relativa ao ponto de lançamento depende apenas da componente vertical da velocidade inicial . - Fórmulas importantes que vamos usar e o que significam:
- Energia potencial gravitacional:
, onde é massa, é aceleração da gravidade (usar se precisar), e é a altura. - Energia cinética:
, onde é a velocidade. - Conservação de energia (entre topo e extremidade da rampa):
. - Componente vertical da velocidade de lançamento:
. - Altura máxima de um projetil (acima do ponto de lançamento), em termos de
: .
- Energia potencial gravitacional:
Passo 3
Aplicar conservação de energia entre a posição inicial (repouso a altura
) e a extremidade da rampa (ponto de lançamento).
- A energia inicial é toda potencial:
. - A energia no ponto de lançamento é toda cinética:
.
Logo, escrevemos a igualdade (conservação):
Nesta expressão,
aparece dos dois lados, então ele cancela — isso significa que a velocidade de saída não depende da massa do esquiador (uma boa dica para prova).
Passo 4
Resolver a equação para
.
- Cancelando
e isolando :
- Portanto a velocidade de lançamento é
Aqui
é a aceleração da gravidade e
é a altura inicial (peguei
da imagem).
Passo 5
Expressar a componente vertical da velocidade de lançamento
.
- Pela definição da componente vertical:
- Substituindo
:
Passo 6
Calcular a altura máxima
do salto (medida a partir da extremidade da rampa) usando a fórmula do projetil para a altura máxima:
- Substituindo
da etapa anterior:
- Desenvolvendo o quadrado no numerador:
- Cancelando
no numerador e denominador:
Observação didática: essa simplificação mostra que a altura máxima acima da extremidade depende só de
e
, não de
nem de
(desde que usemos a mesma
na conservação e na fórmula do projetil).
Passo 7
Substituir os valores numéricos (peguei
e
da imagem).
- Primeiro calcular
, então . - Portanto