3 - Um esquiador de 60 kg parte do repouso a uma altura H = 35 m acima da extremidade de uma rampa para saltos de esqui e deixa a rampa fazendo um ângulo \theta=30^{\circ} com a horizontal. Despreze os efeitos da resistência do ar e suponha que a rampa não tenha atrito. Qual é a altura máxima h do salto em relação à extremidade da rampa?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado e a imagem nos dão (peguei estes dados da imagem enviada).
  • Massa do esquiador: m=60\\ \mathrm{kg} (peguei da imagem).
  • Altura inicial em relação à extremidade da rampa: H=35\\ \mathrm{m} (peguei da imagem).
  • Ângulo de lançamento da rampa em relação à horizontal: \theta=30^\circ (peguei da imagem).
  • Desprezar resistência do ar e atrito (dado do enunciado).
    O enunciado pede: encontrar a altura máxima h do salto em relação à extremidade da rampa.

Passo 2

Entendimento físico e idéias que vamos usar (passo-a-passo didático).
  • Primeiro: ao descer de altura H até a extremidade da rampa, a energia potencial gravitacional se transforma em energia cinética (não há atrito nem ar). Usaremos conservação de energia mecânica.
  • Segundo: ao deixar a rampa com velocidade v formando ângulo \theta com a horizontal, o movimento do esquiador é um lançamento oblíquo (projetil). A altura máxima relativa ao ponto de lançamento depende apenas da componente vertical da velocidade inicial v_y.
  • Fórmulas importantes que vamos usar e o que significam:
    • Energia potencial gravitacional: \,U=m g y\,, onde m é massa, g é aceleração da gravidade (usar g\approx9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} se precisar), e y é a altura.
    • Energia cinética: \,K=\dfrac{1}{2} m v^2\,, onde v é a velocidade.
    • Conservação de energia (entre topo e extremidade da rampa): \,m g H = \dfrac{1}{2} m v^2\,.
    • Componente vertical da velocidade de lançamento: \,v_y = v\sin\theta\,.
    • Altura máxima de um projetil (acima do ponto de lançamento), em termos de v_y: \displaystyle h=\dfrac{v_y^2}{2g}.

Passo 3

Aplicar conservação de energia entre a posição inicial (repouso a altura H) e a extremidade da rampa (ponto de lançamento).
  • A energia inicial é toda potencial: m g H.
  • A energia no ponto de lançamento é toda cinética: \dfrac{1}{2} m v^2.
    Logo, escrevemos a igualdade (conservação):
m g H = \dfrac{1}{2} m v^2.
Nesta expressão, m aparece dos dois lados, então ele cancela — isso significa que a velocidade de saída não depende da massa do esquiador (uma boa dica para prova).

Passo 4

Resolver a equação para v.
  • Cancelando m e isolando v^2:
v^2 = 2 g H.
  • Portanto a velocidade de lançamento é
v=\sqrt{2 g H}.
Aqui g é a aceleração da gravidade e H é a altura inicial (peguei H=35\\ \mathrm{m} da imagem).

Passo 5

Expressar a componente vertical da velocidade de lançamento v_y.
  • Pela definição da componente vertical:
v_y = v\sin\theta.
  • Substituindo v=\sqrt{2 g H}:
v_y = \sqrt{2 g H}\,\sin\theta.

Passo 6

Calcular a altura máxima h do salto (medida a partir da extremidade da rampa) usando a fórmula do projetil para a altura máxima:
h=\dfrac{v_y^2}{2g}.
  • Substituindo v_y da etapa anterior:
h=\dfrac{\big(\sqrt{2 g H}\,\sin\theta\big)^2}{2g}.
  • Desenvolvendo o quadrado no numerador:
h=\dfrac{2 g H \,\sin^2\theta}{2g}.
  • Cancelando 2g no numerador e denominador:
h = H\,\sin^2\theta.
Observação didática: essa simplificação mostra que a altura máxima acima da extremidade depende só de H e \theta, não de m nem de g (desde que usemos a mesma g na conservação e na fórmula do projetil).

Passo 7

Substituir os valores numéricos (peguei \theta=30^\circ e H=35\\ \mathrm{m} da imagem).
  • Primeiro calcular \sin 30^\circ = \tfrac{1}{2}, então \sin^2 30^\circ = \tfrac{1}{4}.
  • Portanto
h = 35\cdot \frac{1}{4} = \frac{35}{4} = 8{,}75\\ \mathrm{m}.

Resposta

8{,}75\\ \mathrm{m}

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