Justifique suas respostas. Desenvolvimentos pouco claros não serão considerados. Escolha 3 das 4 questões.
Questão 3: [3,3 pts] Calcule o vetor campo magnético produzido no centro de uma espira retangular, de comprimento L e largura W, percorrida por uma corrente I.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (em linguagem bem clara):
  • Dados: uma espira retangular plana com comprimento L e largura W, percorrida por uma corrente de intensidade I.
  • Pedido: calcular o vetor campo magnético no centro da espira (ou seja, o módulo e a direção do campo em relação à espira).
Informações relevantes que vou usar (sem resolver ainda):
  • A espira tem quatro lados retilíneos; pelo princípio da superposição o campo no centro é soma vetorial das contribuições de cada lado.
  • Por simetria, as contribuições de lados opostos terão mesma direção no centro (perpendicular ao plano da espira) e somam em módulo.

Passo 2

Ferramenta básica: Biot–Savart e fórmula para fio retilíneo finito. Vou explicar e deduzir com calma (passo a passo), porque é o núcleo do cálculo.
Biot–Savart (forma diferencial) diz que o campo magnético produzido por um elemento de corrente é
d\mathbf{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I\,d\boldsymbol{\ell}\times \hat{\mathbf{r}}}{r^{2}},
onde:
  • \mu_0 é a permeabilidade magnética do vácuo,
  • I é a corrente,
  • d\boldsymbol{\ell} é o vetor segmento de fio (direção da corrente, módulo o comprimento do elemento),
  • \mathbf{r} é o vetor do elemento até o ponto onde se calcula o campo, r=\|\mathbf{r}\|,
  • \hat{\mathbf{r}}=\mathbf{r}/r.
Queremos aplicar isso a um lado retilíneo da espira e depois somar as quatro contribuições.
Cálculo da contribuição de um fio retilíneo finito, centrado em relação ao ponto considerado (configuração simétrica que aparece aqui):
Escolho coordenadas para derivação didática: um fio retilíneo está ao longo do eixo x indo de x=-s até x=+s. O ponto onde queremos o campo fica em (0,a) (no plano xy), isto é, à distância perpendicular a do fio, no ponto médio. Vamos achar o módulo do campo produzido por esse fio no ponto.
Para um elemento d\ell = dx\,\hat{\mathbf{i}} localizado em x, o vetor do elemento até o ponto é \mathbf{r} = -x\,\hat{\mathbf{i}} + a\,\hat{\mathbf{j}}. O módulo é r=\sqrt{x^{2}+a^{2}}. O produto vetorial tem direção \hat{\mathbf{k}} (perpendicular ao plano xy), e seu módulo é |d\boldsymbol{\ell}\times \hat{\mathbf{r}}| = \dfrac{a\,dx}{r}. Assim o módulo de dB é
dB=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I\,a\,dx}{r^{3}}=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\,\frac{a\,dx}{(x^{2}+a^{2})^{3/2}}.
Integramos x de -s a +s:
B=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\int_{-s}^{+s}\frac{a\,dx}{(x^{2}+a^{2})^{3/2}}.
Uma substituição útil é x=a\tan\varphi. Então dx=a\operatorname{sec}^{2}\varphi\,d\varphi e r=a\operatorname{sec}\varphi. O integrando fica
\frac{a\,dx}{(x^{2}+a^{2})^{3/2}}=\frac{a\cdot a\operatorname{sec}^{2}\varphi\,d\varphi}{(a^{3}\operatorname{sec}^{3}\varphi)}=\frac{1}{a}\cos\varphi\,d\varphi.
Os limites correspondem a \varphi=\arctan(x/a), portanto vão de \varphi=-\phi_0 a \varphi=+\phi_0, com \phi_0=\arctan(s/a).
Integrando:
B=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\cdot\frac{1}{a}\int_{-\phi_0}^{+\phi_0}\cos\varphi\,d\varphi =\frac{\mu_0 I}{4\pi}\cdot\frac{1}{a}\Big[2\sin\phi_0\Big] =\frac{\mu_0 I}{2\pi a}\sin\phi_0.
Voltando às grandezas geométricas, \sin\phi_0=\dfrac{s}{\sqrt{a^{2}+s^{2}}}. Logo
B=\frac{\mu_0 I}{2\pi a}\cdot\frac{s}{\sqrt{a^{2}+s^{2}}}.
Uma outra forma equivalente (ângulos entre fio e linhas ligando o ponto aos extremos) é
B=\frac{\mu_0 I}{4\pi a}\,(\sin\theta_1+\sin\theta_2),
mas a expressão com s e a que acabamos de obter é suficiente e prática para nosso problema.
Resumo desta etapa (fórmula pronta e explicada): Para um fio retilíneo de comprimento 2s, o campo no ponto a distância perpendicular a do fio, no ponto médio, tem módulo
B=\frac{\mu_0 I}{2\pi a}\,\frac{s}{\sqrt{a^{2}+s^{2}}}
e direção perpendicular ao plano formado pelo fio e o ponto (no nosso caso será perpendicular ao plano da espira).

Passo 3

Aplicando à espira retangular: identificação dos parâmetros para cada lado.
Considere a espira no plano xy com centro na origem. Então:
  • os dois lados “longos” (comprimento L) estão a uma distância perpendicular a=\dfrac{W}{2} do centro; para cada um desses lados o semi-comprimento é s=\dfrac{L}{2}.
  • os dois lados “curtos” (comprimento W) estão a uma distância perpendicular b=\dfrac{L}{2} do centro; para cada um desses lados o semi-comprimento é s'=\dfrac{W}{2}.
Calcule a contribuição de um único lado longo (um dos lados de comprimento L):
B_{\text{long,\,um}}=\frac{\mu_0 I}{2\pi a}\cdot\frac{s}{\sqrt{a^{2}+s^{2}}} =\frac{\mu_0 I}{2\pi (W/2)}\cdot\frac{L/2}{\sqrt{(W/2)^{2}+(L/2)^{2}}}.
Simplificando passo a passo:
\frac{\mu_0 I}{2\pi (W/2)}=\frac{\mu_0 I}{\pi W}, \qquad \frac{L/2}{\sqrt{(W/2)^{2}+(L/2)^{2}}}=\frac{L}{\sqrt{W^{2}+L^{2}}}.
Portanto
B_{\text{long,\,um}}=\frac{\mu_0 I}{\pi W}\cdot\frac{L}{\sqrt{W^{2}+L^{2}}} =\frac{\mu_0 I L}{\pi W\sqrt{L^{2}+W^{2}}}.
Como há dois lados longos, e as contribuições deles no centro têm mesma direção (pela regra da mão direita) e se somam, o total dos lados longos é
B_{\text{long,\,total}}=2\cdot B_{\text{long,\,um}} =\frac{2\mu_0 I L}{\pi W\sqrt{L^{2}+W^{2}}}.
Agora a contribuição de um único lado curto (um dos lados de comprimento W):
usando simetria trocando L\leftrightarrow W e a\leftrightarrow b,
B_{\text{short,\,um}}=\frac{\mu_0 I}{\pi L}\cdot\frac{W}{\sqrt{L^{2}+W^{2}}} =\frac{\mu_0 I W}{\pi L\sqrt{L^{2}+W^{2}}}.
Somando os dois lados curtos:
B_{\text{short,\,total}}=\frac{2\mu_0 I W}{\pi L\sqrt{L^{2}+W^{2}}}.
Somando todas as quatro contribuições (os quatro lados) — todas têm a mesma direção perpendicular ao plano da espira — o módulo total é
B_{\text{total}}=B_{\text{long,\,total}}+B_{\text{short,\,total}} =\frac{2\mu_0 I L}{\pi W\sqrt{L^{2}+W^{2}}}+\frac{2\mu_0 I W}{\pi L\sqrt{L^{2}+W^{2}}}.
Colocando em evidência \dfrac{2\mu_0 I}{\pi\sqrt{L^{2}+W^{2}}}:
B_{\text{total}}=\frac{2\mu_0 I}{\pi\sqrt{L^{2}+W^{2}}}\left(\frac{L}{W}+\frac{W}{L}\right) =\frac{2\mu_0 I}{\pi\sqrt{L^{2}+W^{2}}}\cdot\frac{L^{2}+W^{2}}{L W}.
Cancelando \sqrt{L^{2}+W^{2}} no numerador com a raiz no denominador:
B_{\text{total}}=\frac{2\mu_0 I}{\pi L W}\sqrt{L^{2}+W^{2}}.
Direção: o vetor campo aponta perpendicularmente ao plano da espira. O sentido (para cima ou para baixo) é dado pela regra da mão direita aplicada ao sentido da corrente. Podemos escrever o vetor como
\mathbf{B}=\frac{2\mu_0 I}{\pi L W}\sqrt{L^{2}+W^{2}}\;\hat{\mathbf{n}},
onde \hat{\mathbf{n}} é o versor normal ao plano da espira orientado pelo sentido da corrente (regra da mão direita).

Passo 4

Teste de sanidade (checagem rápida): se L=W=a (espira quadrada de lado a), a fórmula dá
B=\frac{2\mu_0 I}{\pi a^{2}}\sqrt{2a^{2}}=\frac{2\mu_0 I}{\pi a^{2}}\cdot a\sqrt{2}=\frac{2\sqrt{2}\,\mu_0 I}{\pi a},
que é a expressão conhecida para o campo no centro de um quadrado — portanto a fórmula está consistente.
Força motivadora: já chegamos! Não é tão horrível quanto parecia no começo — só precisa aplicar Biot–Savart com cuidado e explorar a simetria.

Resposta

\mathbf{B}=\frac{2\mu_0 I}{\pi L W}\sqrt{L^{2}+W^{2}}\;\hat{\mathbf{n}}

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