Justifique suas respostas. Desenvolvimentos pouco claros não serão considerados. Escolha 3 das 4 questões.
Questão 3: [3,3 pts] Calcule o vetor campo magnético produzido no centro de uma espira retangular, de comprimento
e largura
, percorrida por uma corrente
.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (em linguagem bem clara):
- Dados: uma espira retangular plana com comprimento
e largura , percorrida por uma corrente de intensidade . - Pedido: calcular o vetor campo magnético no centro da espira (ou seja, o módulo e a direção do campo em relação à espira).
Informações relevantes que vou usar (sem resolver ainda):
- A espira tem quatro lados retilíneos; pelo princípio da superposição o campo no centro é soma vetorial das contribuições de cada lado.
- Por simetria, as contribuições de lados opostos terão mesma direção no centro (perpendicular ao plano da espira) e somam em módulo.
Passo 2
Ferramenta básica: Biot–Savart e fórmula para fio retilíneo finito. Vou explicar e deduzir com calma (passo a passo), porque é o núcleo do cálculo.
Biot–Savart (forma diferencial) diz que o campo magnético produzido por um elemento de corrente é
onde:
-
é a permeabilidade magnética do vácuo, -
é a corrente, -
é o vetor segmento de fio (direção da corrente, módulo o comprimento do elemento), -
é o vetor do elemento até o ponto onde se calcula o campo, , -
.
Queremos aplicar isso a um lado retilíneo da espira e depois somar as quatro contribuições.
Cálculo da contribuição de um fio retilíneo finito, centrado em relação ao ponto considerado (configuração simétrica que aparece aqui):
Escolho coordenadas para derivação didática: um fio retilíneo está ao longo do eixo
indo de
até
. O ponto onde queremos o campo fica em
(no plano
), isto é, à distância perpendicular
do fio, no ponto médio. Vamos achar o módulo do campo produzido por esse fio no ponto.
Para um elemento
localizado em
, o vetor do elemento até o ponto é
. O módulo é
. O produto vetorial tem direção
(perpendicular ao plano
), e seu módulo é
. Assim o módulo de
é
Integramos
de
a
:
Uma substituição útil é
. Então
e
. O integrando fica
Os limites correspondem a
, portanto vão de
a
, com
.
Integrando:
Voltando às grandezas geométricas,
. Logo
Uma outra forma equivalente (ângulos entre fio e linhas ligando o ponto aos extremos) é
mas a expressão com
e
que acabamos de obter é suficiente e prática para nosso problema.
Resumo desta etapa (fórmula pronta e explicada): Para um fio retilíneo de comprimento
, o campo no ponto a distância perpendicular
do fio, no ponto médio, tem módulo
e direção perpendicular ao plano formado pelo fio e o ponto (no nosso caso será perpendicular ao plano da espira).
Passo 3
Aplicando à espira retangular: identificação dos parâmetros para cada lado.
Considere a espira no plano
com centro na origem. Então:
- os dois lados “longos” (comprimento
) estão a uma distância perpendicular do centro; para cada um desses lados o semi-comprimento é . - os dois lados “curtos” (comprimento
) estão a uma distância perpendicular do centro; para cada um desses lados o semi-comprimento é .
Calcule a contribuição de um único lado longo (um dos lados de comprimento
):
Simplificando passo a passo:
Portanto
Como há dois lados longos, e as contribuições deles no centro têm mesma direção (pela regra da mão direita) e se somam, o total dos lados longos é
Agora a contribuição de um único lado curto (um dos lados de comprimento
):
usando simetria trocando e
,
usando simetria trocando
Somando os dois lados curtos:
Somando todas as quatro contribuições (os quatro lados) — todas têm a mesma direção perpendicular ao plano da espira — o módulo total é
Colocando em evidência
:
Cancelando
no numerador com a raiz no denominador:
Direção: o vetor campo aponta perpendicularmente ao plano da espira. O sentido (para cima ou para baixo) é dado pela regra da mão direita aplicada ao sentido da corrente. Podemos escrever o vetor como
onde
é o versor normal ao plano da espira orientado pelo sentido da corrente (regra da mão direita).
Passo 4
Teste de sanidade (checagem rápida): se
(espira quadrada de lado
), a fórmula dá
que é a expressão conhecida para o campo no centro de um quadrado — portanto a fórmula está consistente.
Força motivadora: já chegamos! Não é tão horrível quanto parecia no começo — só precisa aplicar Biot–Savart com cuidado e explorar a simetria.