Um canhão dispara um projétil, com vetor velocidade inicial desconhecida. Após um tempo tq=20 s o projétil impacta sobre uma montanha, em um ponto distante do canhão d=4 Km horizontalmente e a uma altura H=1000 m. Considere a magnitude da aceleração da gravidade como g=10 m / s^2. O módulo da velocidade no instante do impacto é ( em m / s ):

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que um canhão atira um projétil e, depois de tq = 20,s, ele acerta uma montanha que está a d = 4,km de distância na horizontal e H = 1000,m acima do canhão. A gravidade vale g = 10,m/s².
Conteúdo: movimento em duas dimensões (movimento uniformemente acelerado na vertical e uniforme na horizontal).
O que vamos precisar:
  1. Decompor a velocidade em componentes horizontal ( vx) e vertical ( vy).
  2. Usar x = vx,t para achar vx.
  3. Usar y = vy0,t - tfrac12 g t^2 para achar vy0.
  4. Calcular vy(t) = vy0 - g,t.
  5. Pegar o módulo v = raizvx^2 + vy^2.

Passo 2

Primeiro, a componente horizontal da velocidade é constante (não tem aceleração nessa direção). Como ele percorre d = 4 km = 4000,m em t = 20,s:
vx = dt = 400020 = 200 m/s

Passo 3

Agora a componente vertical inicial vy0. A fórmula do deslocamento vertical é
H = vy0,t - tfrac12,g,t^2
Isolando vy0:
vy0 = H + tfrac12,g,t^2t = 1000 + tfrac12cdot10cdot(20)^220
Calculando:
tfrac12cdot10cdot400 = 2000,
vy0 = 1000 + 200020 = 300020 = 150 m/s

Passo 4

A velocidade vertical no instante do impacto ( t=20,s) é
vy = vy0 - g,t = 150 - 10cdot20 = 150 - 200 = -50 m/s
(O sinal negativo só indica que está se movendo para baixo.)

Passo 5

Por fim, o módulo da velocidade no impacto é a hipotenusa das componentes:
v = raizvx^2 + vy^2 = raiz200^2 + (-50)^2 = raiz40000 + 2500 = raiz42500approx 206,2 m/s

Resposta

O módulo da velocidade no instante do impacto é aproximadamente 206,2,m/s.

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