Para um cilindro metálico delgado, de raio R e densidade superficial de cargas lambda, a partir da lei de Gauss, determine as expressões pra o campo elétrico nas regiões r>R.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: a gente tem um cilindro metálico “fino” (ou seja, a espessura é desprezível), de raio , carregado com densidade de carga superficial (interpreta-se aqui como carga por unidade de comprimento do cilindro). O objetivo é usar a lei de Gauss para encontrar o campo elétrico na região externa, isto é, para .
Matéria envolvida: eletrostática — lei de Gauss em coord. cilíndricas.
O que vamos precisar:
  1. Entender a simetria cilíndrica e por que o campo só depende de .
  2. Escolher uma superfície gaussiana adequada (um cilindro coaxial).
  3. Calcular o fluxo .
  4. Determinar a carga encerrada .
  5. Aplicar e isolar .

Passo 2

  1. Superfície gaussiana: um cilindro imaginário de raio Phi ;=;oint Ecdot dA ;=;E(r);times;( área lateral ) ;=;E(r)times(2pi r L) (com Qrm enc ;=;lambda,L ) e comprimento Phi ;=;Qrm encvarepsilon0 ;Longrightarrow; E(r),(2pi r L) ;=;lambda,Lvarepsilon0 , coaxial ao cilindro carregado.
  2. Por simetria cilíndrica, o campo elétrico E(r) =lambda2pivarepsilon0,r só aponta na direção radial e tem a mesma magnitude em todo ponto da casca lateral. Nas “tampas” do cilindro gaussiano é paralelo à superfície (pois é radial), então não contribui para o fluxo nessas faces.
  3. Fluxo pela superfície lateral:
á
  1. Carga encerrada: como é carga por comprimento, em um pedaço de cilindro de altura temos
  1. Lei de Gauss:
  1. Simplificando (o cancela), chega-se a

Resposta

Para boxedE(r)=lambda2pivarepsilon0,r(radialmente para fora) , o campo elétrico é

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