12.1 Através de uma das extremidades de um tanque retangular de
de largura, água é admitida com vazão de
. No fundo do tanque existe um pequeno orifício circular de
de diâmetro, escoando para a atmosfera. Na outra extremidade existe um vertedor retangular livre, de parede fina, com altura
e largura da soleira igual a
. Determine a altura d’água Y no tanque e a vazāo pelo vertedor, na condição de equilíbrio. Utilize a Equação 12.75 .
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras.
Dados:
O que se pede (condição de equilíbrio):
- Determinar a altura d’água no tanque
(medida a partir do fundo). - Determinar a vazão que passa pelo vertedor livre (somente a parcela que passa sobre a soleira do vertedor),
.
Observação: em equilíbrio
deve ser igual à soma da vazão pelo orifício no fundo
e da vazão sobre o vertedor
:
Passo 2
Modelos físicos e fórmulas necessárias (explicadas de forma didática):
- Vazão pelo orifício no fundo (escoamento para a atmosfera). Para um orifício pequeno e afiado usamos a fórmula
onde:
-
é o coeficiente de descarga do orifício (adotamos , valor típico para orifício cortante), -
é a área do orifício: , -
é a altura da coluna de água acima do orifício (a partir do fundo), -
é a aceleração da gravidade.
Explicação curta: a velocidade teórica por queda livre é
(equação de Torricelli). O coeficiente
corrige por efeitos de contração e atrito do orifício.
- Vazão sobre um vertedor retangular fino (borda afiada). Para vertedor livre de parede fina usa-se a fórmula
onde:
-
é o coeficiente de descarga do vertedor (adotamos , valor prático típico para borda afiada), -
é a largura do vertedor (igual à largura do tanque, aqui ), -
é a altura da lâmina d’água sobre a crista do vertedor: (somente positiva se ), -
aparece por causa da dependência com a velocidade característica da queda da água.
Explicação curta: para um vertedor fino, a vazão depende de
— ou seja, crescer um pouco em altura aumenta bastante a vazão.
- Equilíbrio (Equação 12.75 no enunciado corresponde à soma das duas vazões igual à entrada). Assim:
válida enquanto
(senão
).
Escolhas numéricas feitas:
Passo 3
Montagem da equação numérica explícita (substituindo os dados conhecidos):
Primeiro calculei o fator comum do vertedor:
Vamos avaliar
:
O termo do orifício:
Logo a equação de equilíbrio fica:
lembrando que o segundo termo só existe se
.
Passo 4
Método de solução: equação não linear em
(presença de
e
). Vou usar tentativa iterativa (método prático em prova: chutes inteligentes e ajuste), mostrando os cálculos passo a passo até convergir.
Começo por testar alguns valores de
:
- Teste
(crista do vertedor exatamente nivelada)
- Teste
logo
.
Concluímos que a raiz está entre
e
. Vamos aproximar entre esses limites.
- Teste
Comparando com
, vemos que ficamos um pouco abaixo (0,05651 < 0,0571), então
precisa ser um pouco maior que
.
- Teste
(um pequeno passo)
Agora ficamos ligeiramente acima de
(0,05721 > 0,0571). Assim a solução está entre
e
. Esse nível de precisão é suficiente para nossa resposta (três algarismos significativos).
Passo 5
Conclusão numérica e cálculo final da vazão sobre o vertedor:
Aproximando para três algarismos significativos, tomo
Com esse
, o cálculo do vertedor (já feito) dá:
arredondando conforme enunciado para quatro algarismos significativos:
Como verificação final, soma das vazões:
que é muito próximo de
(diferença por arredondamento e escolhas de coeficiente), confirmando o equilíbrio.