Um cano com diâmetro interno de 2,5 \mathrm{~cm} transporta água para o porão de uma casa a uma velocidade de 0,90 \mathrm{~m} / \mathrm{s} com uma pressão de 213 kPa . Se o cano se estreita para 1,2 \mathrm{~cm} e sobe para o segundo piso, que está a 5,3 \mathrm{~m} acima do ponto de entrada, qual será a pressão da água no segundo piso, em unidades de KPa?

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um cano com diâmetro interno \text{d}_1 = 2,5\text{ cm} = 0,025\text{ m} transportando água a v_1 = 0,90\text{ m/s} e pressão P_1 = 213\text{ kPa} = 213000\\ \mathrm{Pa}. O cano passa a ter diâmetro \text{d}_2 = 1,2\text{ cm} = 0,012\text{ m} e sobe \Delta z = 5,3\text{ m}. Queremos a pressão P_2 no segundo piso. Para isso vamos usar:
– Equação da continuidade para fluido incompressível: A_1v_1=A_2v_2.
– Equação de Bernoulli (sem perdas) entre o ponto 1 e o ponto 2.
Adotamos \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3} e g=9,81\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 2

Pela continuidade, as áreas são A_i=\pi d_i^2/4 e
v_2 = v_1\frac{A_1}{A_2} = v_1\Bigl(\frac{d_1}{d_2}\Bigr)^2 = 0,90\cdot\Bigl(\frac{0,025}{0,012}\Bigr)^2 \approx 3,91\text{ m/s}.

Passo 3

Aplicando Bernoulli entre 1 z_1=0 e 2 ( z_2=5,3 m):
\frac{P_1}{\rho g} + \frac{v_1^2}{2g} + z_1 = \frac{P_2}{\rho g} + \frac{v_2^2}{2g} + z_2.
Isolando P_2:
P_2 = P_1 + \tfrac12\,\rho\,(v_1^2 - v_2^2)\;-\;\rho g\,(z_2 - z_1).
Substituindo valores numéricos:
P_2 = 213000 + \tfrac12\cdot1000\,(0,90^2 - 3,91^2) - 1000\cdot9,81\cdot5,3 \approx 153780\\ \mathrm{Pa}.

Resposta

A pressão da água no segundo piso é aproximadamente 154\text{ kPa}.

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