5 A capacidade calorífica da água a 25^{\circ} \mathrm{C} tem o valor 4186,5 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} .{ }^{\circ} \mathrm{C}. Mostre que este valor equivale a 1,0 \mathrm{BTU} / \mathrm{lb} .{ }^{\circ} \mathrm{F}.

Passo 1

O enunciado dá a capacidade calorífica (calor específico) da água a 25^\circ\mathrm{C} igual a
4186{,}5\\ \mathrm{J}\,/(\mathrm{kg}\cdot{}^\circ\mathrm{C}).
Pede para mostrar que esse valor equivale a
1{,}0\\ \mathrm{BTU}/(\mathrm{lb}\cdot{}^\circ\mathrm{F}).
Informações relevantes dadas: o número 4186{,}5 com as unidades \mathrm{J}\,/(\mathrm{kg}\cdot{}^\circ\mathrm{C}) é o ponto de partida e a unidade alvo é \mathrm{BTU}/(\mathrm{lb}\cdot{}^\circ\mathrm{F}).

Passo 2

Vamos aprender quais fatores de conversão precisamos usar e por quê.
  • Para converter energia: 1\\ \mathrm{BTU} = 1055{,}05585\\ \mathrm{J}. Aqui trocamos joules por BTU.
  • Para converter massa: 1\\ \mathrm{kg} = 2{,}2046226218\\ \mathrm{lb}. Queremos passar de “por quilograma” para “por libra”.
  • Para converter grau de temperatura (variação): uma variação de 1\\ ^\circ\mathrm{C} corresponde a 1{,}8\\ ^\circ\mathrm{F}. Logo, (^\circ\mathrm{C})^{-1} = (1{,}8\\ ^\circ\mathrm{F})^{-1} = \dfrac{1}{1{,}8}\\ (^\circ\mathrm{F})^{-1}.
    Explicação didática: o calor específico é “energia por massa por variação de temperatura”. Para manter o mesmo número em diferentes unidades devemos transformar cada parte do denominador (massa e temperatura) e o numerador (energia) usando os fatores adequados.

Passo 3

Escrevemos a expressão que converte c=4186{,}5\\ \mathrm{J}/(\mathrm{kg}\cdot{}^\circ\mathrm{C}) em \mathrm{BTU}/(\mathrm{lb}\cdot{}^\circ\mathrm{F}). Multiplicamos por fatores que valem 1, de forma a trocar unidades:
c_{\text{nova}} = 4186{,}5\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg}\cdot{}^\circ\mathrm{C}} \cdot \frac{1\\ \mathrm{BTU}}{1055{,}05585\\ \mathrm{J}} \cdot \frac{1\\ \mathrm{kg}}{2{,}2046226218\\ \mathrm{lb}} \cdot \frac{1}{1{,}8}\\ \frac{^\circ\mathrm{C}}{^\circ\mathrm{F}}.
Cada fração explica-se: a primeira troca J por BTU, a segunda troca kg por lb (colocando kg no numerador cancela o kg do denominador original), e a terceira troca o inverso de graus Celsius pelo inverso de graus Fahrenheit.

Passo 4

Agora calculamos passo a passo os fatores numéricos (faço as contas de modo que você consiga replicar na prova sem ficar perdido):
Primeiro convertemos joules para BTU:
\frac{4186{,}5}{1055{,}05585} \approx 3{,}968320716\\ \frac{\mathrm{BTU}}{\mathrm{kg}\cdot{}^\circ\mathrm{C}}.
Agora convertemos por quilograma para por libra:
\frac{3{,}968320716}{2{,}2046226218} \approx 1{,}800000000\\ \frac{\mathrm{BTU}}{\mathrm{lb}\cdot{}^\circ\mathrm{C}}.
Finalmente ajustamos a unidade de temperatura ( 1/1{,}8 para passar de por grau Celsius para por grau Fahrenheit):
1{,}800000000 \times \frac{1}{1{,}8} = 1{,}000000000\\ \frac{\mathrm{BTU}}{\mathrm{lb}\cdot{}^\circ\mathrm{F}}.
Observação didática: veja como os números “se combinam” de forma bonita — o valor inicial 4186{,}5 foi escolhido historicamente para que essa equivalência fique exatamente 1{,}0 nessa combinação de unidades.

Passo 5

Concluímos que a capacidade calorífica dada realmente equivale a
1{,}0\\ \mathrm{BTU}/(\mathrm{lb}\cdot{}^\circ\mathrm{F}).
Isso mostra, na prática, que se você aquecer 1\\ \mathrm{lb} de água em 1^\circ\mathrm{F} consome 1{,}0\\ \mathrm{BTU}, o que é a tradução direta da definição usada nas unidades anglo-saxônicas.

Resposta

1{,}0\\ \mathrm{BTU}/(\mathrm{lb}\cdot{}^\circ\mathrm{F})

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