Uma massa de 500 lbm de \mathrm{N}_{2} devem ser carregadas em um pequeno cilindro metálico a 25^{\circ} \mathrm{C}, ocupando uma pressão tal que a densidade do gás seja 11,5 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Estime o volume do cilindro. A constante dos gases ideais é: \mathbf{R}=8,314 \mathrm{~m}^{3} . \mathrm{Pa} /(\mathrm{mol} . \mathrm{K})

Passo 1

O problema pede que eu estime o volume do cilindro que contém 500 lbm de \mathrm{N}_2 à temperatura de 25^\circ\mathrm{C}, quando a densidade do gás no cilindro é 11{,}5\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3. Dados fornecidos (e conversões que vou precisar):
\text{massa} = 500\\ \text{lbm}, \qquad T = 25^\circ\mathrm{C}, \qquad \rho = 11{,}5\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3, \qquad R_{\text{univ}} = 8{,}314\\ \mathrm{m}^3\!\cdot\!\mathrm{Pa}/(\mathrm{mol}\!\cdot\!\mathrm{K}).
Observação: vou converter a massa de lbm para kg e, se precisar verificar consistência com a lei dos gases, também converter T para kelvin ( T_K = T + 273{,}15). Não há figura ou tabela adicional.

Passo 2

Converter 500 lbm para quilogramas. A relação padrão é
1\\ \text{lbm} = 0{,}45359237\\ \mathrm{kg}.
Logo a massa em kg é
m = 500 \times 0{,}45359237\\ \mathrm{kg} = 226{,}796185\\ \mathrm{kg}.
Para trabalho de prova posso arredondar para m \approx 226{,}8\\ \mathrm{kg}, mantendo poucas casas significativas coerentes com os dados.

Passo 3

Usar a definição de densidade: densidade é massa por unidade de volume. A relação é
\rho = \frac{m}{V},
onde \rho é a densidade ( \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3), m é a massa ( \mathrm{kg}) e V é o volume ( \mathrm{m}^3). Isolando V,
V = \frac{m}{\rho}.
Substituindo os valores (usei m=226{,}796185\\ \mathrm{kg} e \rho=11{,}5\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3):
V = \frac{226{,}796185}{11{,}5}\\ \mathrm{m}^3 = 19{,}7174996\\ \mathrm{m}^3.
Arredondando de acordo com as cifras dos dados (densidade dada com três algarismos significativos), fica
V \approx 19{,}7\\ \mathrm{m}^3.
Explicação didática curta: quando você conhece a massa total e a densidade desejada, o volume necessário é simplesmente massa dividido por densidade — é a relação mais direta e rápida numa prova.

Passo 4

(Aqui eu te ensino um pouco mais: como verificar consistência usando a lei dos gases ideais.)
A lei dos gases ideais em forma molar é
pV = n R_{\text{univ}} T,
onde p é a pressão (Pa), V é o volume ( \mathrm{m}^3), n é o número de mols, R_{\text{univ}} é a constante universal e T é a temperatura em kelvin. Podemos escrever essa relação em termos de densidade usando a massa molar M (kg/mol). A densidade \rho pode ser relacionada a p por
p = \rho R_{\text{espec}}, \qquad\text{com}\qquad R_{\text{espec}} = \frac{R_{\text{univ}}}{M},
onde R_{\text{espec}} é a constante específica do gás (J/(kg·K)) e M é a massa molar em \mathrm{kg}/\mathrm{mol}.
Para \mathrm{N}_2 a massa molar é aproximadamente
M = 28{,}0134\\ \mathrm{g}/\mathrm{mol} = 0{,}0280134\\ \mathrm{kg}/\mathrm{mol}.
Então
R_{\text{espec}} = \frac{8{,}314}{0{,}0280134}\\ \mathrm{J}/(\mathrm{kg}\!\cdot\!\mathrm{K}) \approx 296{,}81\\ \mathrm{J}/(\mathrm{kg}\!\cdot\!\mathrm{K}).
Convertendo T para kelvin: T_K = 25 + 273{,}15 = 298{,}15\\ \mathrm{K}. Assim a pressão correspondente à densidade dada seria
p = \rho R_{\text{espec}} T_K = 11{,}5 \times 296{,}81 \times 298{,}15\\ \mathrm{Pa} \approx 1{,}0167\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa}\approx 10{,}03\\ \text{atm}.
Esse cálculo é apenas uma checagem: mostra que a densidade indicada corresponderia a uma pressão em torno de 10 atmosferas a 25^\circ\mathrm{C}, o que é plausível para um cilindro pressurizado. Mas para obter o volume basta a conta do Passo 3.

Passo 5

Resumo e dica de prova: a forma mais direta é sempre verificar se você pode usar a relação \rho = m/V — quando a densidade é fornecida, essa é a equação mais simples. Se o enunciado pedisse a pressão ao invés do volume, aí sim usaríamos a lei dos gases ideais conforme mostrei no Passo 4. Força aí — você já tem o procedimento pronto para aplicar em prova: converter unidades, usar \rho=m/V, e só depois checar com a lei dos gases se quiser consistência numérica.

Resposta

19{,}7\\ \mathrm{m}^3

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