A capacidade calorífica do ar é muito menor do que a da água, e é necessária uma pequena quantidade de calor para alterar sua temperatura. Esta é uma das razões de os desertos serem tão frios a noite, apesar de muito quentes durante o dia. A capacidade calorífera do ar a pressão e temperatura ambiente é de aproximadamente 21 \mathrm{~J} \mathrm{~K}^{-1} \mathrm{~mol}^{-1}. Que energia é necessária para elevar de 10^{\circ} \mathrm{C} a temperatura de uma sala de 5,5 \mathrm{~m} \times 6,5 \mathrm{~m} \times 3,0 \mathrm{~m} desprezando-se as perdas de energia? Quanto tempo levaria um aquecedor com potência igual a 1,5 \mathrm{~kW} para provocar essa elevação de temperatura ( 1 \mathrm{~W}=1 \mathrm{~J} \mathrm{~s}^{-1} ).

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo de forma clara para não nos perdermos):
  • Capacidade calorífica molar do ar a pressão e temperatura ambientes: C = 21\\ \mathrm{J\\ K^{-1}\\ mol^{-1}}.
  • Dimensões da sala: 5{,}5\\ \mathrm{m} \times 6{,}5\\ \mathrm{m} \times 3{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Deseja-se elevar a temperatura da sala em \Delta T = 10^\circ\mathrm{C} (ou seja, \Delta T = 10\\ \mathrm{K}).
  • Potência do aquecedor: P = 1{,}5\\ \mathrm{kW} = 1500\\ \mathrm{W}.
  • Desprezam-se perdas de energia (toda a energia do aquecedor aquece o ar).
  • Perguntas a responder:
    1. Qual a energia necessária Q para aumentar a temperatura do ar da sala em \Delta T = 10\\ \mathrm{K}?
    2. Quanto tempo t leva um aquecedor de 1{,}5\\ \mathrm{kW} para fornecer essa energia?
Observação de modelagem (informação usada porque não foi dada no enunciado): vou assumir pressão atmosférica P_{\text{atm}}\approx 1{,}01\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} e que o ar na sala, antes de aquecer, está a 10^\circ\mathrm{C}=283\\ \mathrm{K}. Com isso podemos obter o número de mols de ar na sala usando a equação dos gases ideais.

Passo 2

Calcular o volume da sala. Multiplicamos as três dimensões:
V = 5{,}5\times6{,}5\times3{,}0\\ \mathrm{m^{3}}.
Vamos calcular:
5{,}5\times6{,}5=35{,}75,
V = 35{,}75\times3{,}0 = 107{,}25\\ \mathrm{m^{3}}.
Portanto o volume da sala é V = 107{,}25\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 3

Encontrar o número de mols de ar n na sala usando a equação dos gases ideais. Vou explicar essa lei com calma: a equação dos gases ideais é
PV = nRT,
onde
  • P é a pressão absoluta (em pascal, \mathrm{Pa}),
  • V é o volume (em \mathrm{m^{3}}),
  • n é o número de mols (o que queremos),
  • R é a constante universal dos gases, R = 8{,}314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}},
  • T é a temperatura absoluta (em kelvin, \mathrm{K}).
Rearranjando para n:
n=\frac{PV}{RT}.
Substituindo os valores (assumi P=1{,}01\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} e T=283\\ \mathrm{K}):
n=\frac{(1{,}01\times10^{5}\\ \mathrm{Pa})\times(107{,}25\\ \mathrm{m^{3}})}{(8{,}314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}})\times(283\\ \mathrm{K})}.
Agora calculo passo a passo os numeradores e denominadores:
\text{numerador} = 1{,}01\times10^{5}\times107{,}25 \approx 1{,}083225\times10^{7}\\ \mathrm{Pa\cdot m^{3}}.
\text{denominador} = 8{,}314\times283 \approx 2352{,}862\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}.
Dividindo:
n \approx \frac{1{,}083225\times10^{7}}{2352{,}862} \approx 4{,}60\times10^{3}\\ \mathrm{mol}.
Interpretação: há aproximadamente n\approx 4{,}60\times10^{3} mols de ar na sala. (Se preferir, isso corresponde a cerca de 4{,}6 mil mols.)

Passo 4

Entender o que significa a capacidade calorífica molar e aplicar a fórmula de calor. A capacidade calorífica molar C dada significa: para aquecer 1 mol de ar em 1\\ \mathrm{K} (ou 1^\circ\mathrm{C}) é necessária uma energia de C joules. Assim, para n mols e uma variação de temperatura \Delta T, a energia necessária é
Q = n C \Delta T.
Aqui:
  • n é o número de mols calculado no passo anterior,
  • C=21\\ \mathrm{J\\ K^{-1}\\ mol^{-1}},
  • \Delta T = 10\\ \mathrm{K}.
Substituindo:
Q = (4{,}603{,}5\\ \mathrm{mol}) \times (21\\ \mathrm{J\\ K^{-1}\\ mol^{-1}}) \times (10\\ \mathrm{K}).
Vou usar o valor aproximado n\approx 4{,}60\times10^{3}\\ \mathrm{mol} para facilitar:
Q \approx 4{,}60\times10^{3}\times21\times10 = 4{,}60\times10^{3}\times210.
Q \approx 966{,}735\\ \mathrm{J} \approx 9{,}67\times10^{5}\\ \mathrm{J}.
Explicando numericamente: elevar a sala em 10\\ \mathrm{K} exige aproximadamente 9{,}67\times10^{5}\\ \mathrm{J}, ou cerca de 967\\ \mathrm{kJ}.

Passo 5

Calcular o tempo necessário para um aquecedor de potência P=1{,}5\\ \mathrm{kW}=1500\\ \mathrm{W} fornecer essa energia. A relação entre energia, potência e tempo é simples:
P = \frac{Q}{t}\quad\Longrightarrow\quad t = \frac{Q}{P},
onde t está em segundos se Q estiver em joules e P em watts ( 1\\ \mathrm{W}=1\\ \mathrm{J\\ s^{-1}}).
Substituindo:
t = \frac{966{,}735\\ \mathrm{J}}{1500\\ \mathrm{W}} \approx 644{,}49\\ \mathrm{s}.
Converter para minutos:
644{,}49\\ \mathrm{s} \div 60 \approx 10{,}74\\ \mathrm{min}.
Interpretação: o aquecedor levaria cerca de 644\\ \mathrm{s}, isto é, aproximadamente 10{,}7 minutos, para entregar a energia necessária (na hipótese ideal sem perdas).

Resposta

Q \approx 9,67\times10^{5}\\ \mathrm{J}
t \approx 6,44\times10^{2}\\ \mathrm{s}\\ (\approx 10{,}7\\ \mathrm{min})

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