7- A capacidade calorífica molar a pressão constante de um determinado gás se comportando como ideal, varia com a temperatura a partir da seguinte equação:
. Determine
e
, quando a temperatura é elevada ade 0 a
:
a) A pressão constante
b) A volume constante.
a) A pressão constante
b) A volume constante.
Passo 1
O enunciado nos dá a capacidade calorífica molar a pressão constante do gás ideal:
e pede para determinar
e
quando a temperatura é elevada de
para
, nos dois processos:
a) pressão constante; b) volume constante.
a) pressão constante; b) volume constante.
Informações relevantes fornecidas:
- A variação de temperatura é de
para , ou seja . - A capacidade dada é molar (
), portanto os resultados serão por mol (assumir salvo indicação contrária). - O gás é ideal (podemos usar relações como
e quando houver trabalho de expansão).
O que é pedido (lista de perguntas):
- a) Para processo a pressão constante: calcular
, , e . - b) Para processo a volume constante: calcular
, , e .
Passo 2
Observações e convenções / fórmulas que vamos usar (explicadinhas):
- Para uma mol de gás ideal, a entalpia molar varia com a temperatura como
Aqui
é o número de mols (assumimos
),
é a temperatura em kelvin e
tem unidades de
.
- Para gás ideal:
. A constante dos gases é . - Primeira lei da termodinâmica (convenção química):
onde
é o calor trocado pelo sistema (positivo se entra calor) e
é o trabalho realizado sobre o sistema (positivo quando trabalho entra no sistema). Para trabalho de expansão reversível contra pressão externa constante
:
- Importante: quando integrar
use em kelvin. As temperaturas dadas correspondem a e . A diferença .
Passo 3
Calcular
(valores gerais por mol).
Começamos integrando :
Começamos integrando
Substituindo
e
,
:
Usando a identidade
e
:
Logo
Portanto
Passo 4
Resultado útil:
é uma função de estado (independe do caminho), então esse valor vale tanto para o processo a pressão constante quanto para o processo a volume constante (ambos começam em
e terminam em
).
Passo 5
Processo a pressão constante (caso a):
- Calor trocado a pressão constante: por definição termodinâmica
Explicando: a entalpia é definida de modo que, para processos a pressão constante com apenas trabalho de pressão-volume, o calor trocado iguala a variação de entalpia.
- Trabalho realizado (trabalho PV): para um mol de gás ideal
Explicando o sinal:
é trabalho sobre o sistema; como o gás se expande quando aquecido, o sistema realiza trabalho sobre o entorno, logo
é negativo.
- Variação da energia interna:
usar:
Alternativamente usar
, que dá o mesmo resultado.
Passo 6
Processo a volume constante (caso b):
- Trabalho de pressão-volume:
porque o volume não varia (não há trabalho PV). - Capacidade a volume constante:
. Portanto a variação da energia interna por mol é
Substituindo números:
- Calor trocado a volume constante:
(pela primeira lei, já que ), então
- Variação de entalpia no processo a volume constante: como dito antes,
é função de estado e depende só dos estados inicial e final, logo
também para este caso.
Passo 7
Resumo numérico com arredondamento razoável (duas casas decimais quando apropriado):
-
. -
(mesmo para ambos os processos). - Para pressão constante:
, . - Para volume constante:
, .
Um recado amigo: deu trabalho, mas o raciocínio é sempre o mesmo — integrar a capacidade calorífica para obter variações de energia/entalpia, lembrar que
é função de estado e que
para gás ideal. Se ficar apertado na prova, memoriza:
,
e
.
Resposta
(a) Pressão constante:
(b) Volume constante: