7- A capacidade calorífica molar a pressão constante de um determinado gás se comportando como ideal, varia com a temperatura a partir da seguinte equação: \mathrm{C}_{p, m}=20+0,4 \mathrm{~T}. Determine \mathrm{q}, \mathrm{w}, \Delta \mathrm{U} e \Delta \mathrm{H}, quando a temperatura é elevada ade 0 a 100{ }^{\circ} \mathrm{C} :
a) A pressão constante
b) A volume constante.

Passo 1

O enunciado nos dá a capacidade calorífica molar a pressão constante do gás ideal:
C_{p,m}(T)=20+0{,}4\,T
e pede para determinar q,\;w,\;\Delta U e \Delta H quando a temperatura é elevada de 0^\circ\mathrm{C} para 100^\circ\mathrm{C}, nos dois processos:
a) pressão constante; b) volume constante.
Informações relevantes fornecidas:
  • A variação de temperatura é de 0^\circ\mathrm{C} para 100^\circ\mathrm{C}, ou seja \Delta T=100\\ \mathrm{K}.
  • A capacidade dada é molar ( C_{p,m}), portanto os resultados serão por mol (assumir n=1\\ \mathrm{mol} salvo indicação contrária).
  • O gás é ideal (podemos usar relações como C_{p,m}-C_{v,m}=R e w=-P\Delta V=-nR\Delta T quando houver trabalho de expansão).
O que é pedido (lista de perguntas):
  • a) Para processo a pressão constante: calcular q, w, \Delta U e \Delta H.
  • b) Para processo a volume constante: calcular q, w, \Delta U e \Delta H.

Passo 2

Observações e convenções / fórmulas que vamos usar (explicadinhas):
  • Para uma mol de gás ideal, a entalpia molar varia com a temperatura como
\Delta H = n\int_{T_1}^{T_2} C_{p,m}(T)\,dT.
Aqui n é o número de mols (assumimos n=1), T é a temperatura em kelvin e C_{p,m} tem unidades de \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
  • Para gás ideal: C_{v,m}(T)=C_{p,m}(T)-R. A constante dos gases é R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
  • Primeira lei da termodinâmica (convenção química):
\Delta U = q + w,
onde q é o calor trocado pelo sistema (positivo se entra calor) e w é o trabalho realizado sobre o sistema (positivo quando trabalho entra no sistema). Para trabalho de expansão reversível contra pressão externa constante P:
w = -P\Delta V = -nR\Delta T.
  • Importante: quando integrar C_{p,m}(T) use T em kelvin. As temperaturas dadas correspondem a T_1=273{,}15\\ \mathrm{K} e T_2=373{,}15\\ \mathrm{K}. A diferença \Delta T=T_2-T_1=100\\ \mathrm{K}.

Passo 3

Calcular \Delta H (valores gerais por mol).
Começamos integrando C_{p,m}(T)=20+0{,}4T:
\Delta H = n\int_{T_1}^{T_2} (20+0{,}4T)\,dT = n\Big[20T+0{,}2T^2\Big]_{T_1}^{T_2}.
Substituindo n=1 e T_1=273{,}15, T_2=373{,}15:
\Delta H = \big(20(T_2-T_1)\big) + 0{,}2\big(T_2^2-T_1^2\big).
Usando a identidade T_2^2-T_1^2=(T_2-T_1)(T_2+T_1) e \Delta T=100\\ \mathrm{K}:
T_2+T_1 = 373{,}15+273{,}15 = 646{,}30\\ \mathrm{K},
T_2^2-T_1^2 = 100\times 646{,}30 = 64\,630\\ \mathrm{K^2}.
Logo
\Delta H = 20\times 100 + 0{,}2\times 64\,630 = 2\,000 + 12\,926 = 14\,926\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}.
Portanto
\Delta H = 14\,926\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}\quad(\text{ou }14{,}926\\ \mathrm{kJ\;mol^{-1}}).

Passo 4

Resultado útil: \Delta H é uma função de estado (independe do caminho), então esse valor vale tanto para o processo a pressão constante quanto para o processo a volume constante (ambos começam em 0^\circ\mathrm{C} e terminam em 100^\circ\mathrm{C}).

Passo 5

Processo a pressão constante (caso a):
  • Calor trocado a pressão constante: por definição termodinâmica
q_p=\Delta H = 14\,926\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}.
Explicando: a entalpia é definida de modo que, para processos a pressão constante com apenas trabalho de pressão-volume, o calor trocado iguala a variação de entalpia.
  • Trabalho realizado (trabalho PV): para um mol de gás ideal
w_p = -nR\Delta T = -1\times 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}\times 100\\ \mathrm{K} = -831{,}4\\ \mathrm{J}.
Explicando o sinal: w é trabalho sobre o sistema; como o gás se expande quando aquecido, o sistema realiza trabalho sobre o entorno, logo w é negativo.
  • Variação da energia interna:
    usar \Delta U = q + w:
\Delta U_p = \Delta H + w_p = 14\,926 - 831{,}4 = 14\,094{,}6\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}.
Alternativamente usar \Delta U = \int C_{v,m}\,dT = \Delta H - nR\Delta T, que dá o mesmo resultado.

Passo 6

Processo a volume constante (caso b):
  • Trabalho de pressão-volume: w_v=0 porque o volume não varia (não há trabalho PV).
  • Capacidade a volume constante: C_{v,m}(T)=C_{p,m}(T)-R. Portanto a variação da energia interna por mol é
\Delta U_v = \int_{T_1}^{T_2} C_{v,m}(T)\,dT = \Delta H - nR\Delta T.
Substituindo números:
\Delta U_v = 14\,926 - 8{,}314\times 100 = 14\,926 - 831{,}4 = 14\,094{,}6\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}.
  • Calor trocado a volume constante: q_v=\Delta U_v (pela primeira lei, já que w=0), então
q_v = 14\,094{,}6\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}.
  • Variação de entalpia no processo a volume constante: como dito antes, \Delta H é função de estado e depende só dos estados inicial e final, logo
\Delta H = 14\,926\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}
também para este caso.

Passo 7

Resumo numérico com arredondamento razoável (duas casas decimais quando apropriado):
  • \Delta H = 14\,926\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}.
  • \Delta U = 14\,094{,}6\\ \mathrm{J\;mol^{-1}} (mesmo para ambos os processos).
  • Para pressão constante: q_p=14\,926\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}, w_p=-831{,}4\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}.
  • Para volume constante: q_v=14\,094{,}6\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}, w_v=0.
Um recado amigo: deu trabalho, mas o raciocínio é sempre o mesmo — integrar a capacidade calorífica para obter variações de energia/entalpia, lembrar que \Delta H é função de estado e que C_p-C_v=R para gás ideal. Se ficar apertado na prova, memoriza: q_p=\Delta H, w=-nR\Delta T e \Delta U=\Delta H - nR\Delta T.

Resposta

(a) Pressão constante: q=14\,926\\ \mathrm{J\;mol^{-1}},\quad w=-831{,}4\\ \mathrm{J\;mol^{-1}},\quad \Delta U=14\,094{,}6\\ \mathrm{J\;mol^{-1}},\quad \Delta H=14\,926\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}
(b) Volume constante: q=14\,094{,}6\\ \mathrm{J\;mol^{-1}},\quad w=0,\quad \Delta U=14\,094{,}6\\ \mathrm{J\;mol^{-1}},\quad \Delta H=14\,926\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}

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