Por que a capacidade tamponante é máxima quando
?
Passo 1
O que o problema pergunta: “Por que a capacidade tamponante é máxima quando
?”\n
Informações relevantes dadas ou implicadas pelo enunciado:
Estamos tratando de um tampão formado pelo par conjugado
.\n
A relação entre
,
e as concentrações do tampão é dada pela equação de Henderson–Hasselbalch:
.\n
Precisamos entender a definição matemática de “capacidade tamponante” e mostrar por que essa quantidade é máxima quando
, ou seja, quando
.
Informações relevantes dadas ou implicadas pelo enunciado:
Passo 2
Definição precisa de capacidade tamponante. Vou definir de forma operacional (a usada em química analítica): a capacidade tamponante
é a quantidade de ácido forte ou base forte (em mol/L) que precisa ser adicionada para mudar o
do sistema em uma unidade. Matematicamente, para adições infinitesimais:
onde
é a variação de mols de base forte adicionada por litro que provoca a variação
. Explico: se
é grande, precisa adicionar muita base/ácido para mudar o
— tampão forte.
Passo 3
Vou usar a equação de Henderson–Hasselbalch como ponto de partida e explicar suas partes. A equação é
Aqui
é a concentração da base conjugada e
a do ácido fraco.
é
, constante de dissociação do ácido. Essa equação vem da constante de equilíbrio
e da definição
.
Passo 4
Vou relacionar pequenas variações nas concentrações do tampão com a variação do
. Diferenciando a equação de Henderson–Hasselbalch (usando logaritmo natural convertido para base 10) obtemos, para variações diferenciais,
Expliquei cada termo:
é a variação relativa de
e análogo para
. O fator
aparece porque
.
Passo 5
Quando adicionamos uma pequena quantidade de base forte
(mols por litro), essa base consome
e produz
. Para adição de base:
Substituindo essas variações na expressão anterior:
Isolando
(que é a definição de
) obtemos:
Comentário sobre símbolos:
é o logaritmo natural de 10 (número
). Essa fórmula mostra como
depende das concentrações relativas de
e
.
Passo 6
Reescrevo
em função da concentração total do tampão. Defina a concentração total do par tampão:
Então a expressão fica
Para C fixo, a única coisa que varia é o produto
. Logo, maximizar
equivale a maximizar o produto
com
.
Passo 7
Vou mostrar que
é máximo quando
(ou seja,
). Dois caminhos simples:
Método 1 — derivada:
Colocando
dá
. Segundo derivada
, portanto é máximo.
Método 2 — desigualdade AM–GM:
Para e
positivos, a média aritmética é maior ou igual à geométrica:
Para
Quadrando,
, com igualdade quando
.
Assim o produto
é máximo quando
.
Passo 8
Ligo isso ao
. Pela equação de Henderson–Hasselbalch,
implica
Portanto, quando
a capacidade tamponante
atinge seu valor máximo. Também podemos calcular o valor máximo:
Passo 9
Interpretação prática e intuição (sem fórmulas): se há quantidades parecidas de ácido e base conjugada, o tampão consegue tanto doar prótons (resistir a adição de base) quanto aceitar prótons (resistir à adição de ácido) quase na mesma medida. Se um dos componentes é muito pequeno, o tampão só protege bem contra um tipo de adição (só ácido ou só base), perdendo eficiência global. Por isso o equilíbrio entre as duas espécies dá a máxima proteção — que é exatamente
.
Resposta
Porque a capacidade tamponante é dada por
, que para concentração total fixa
é máxima quando
; pela equação de Henderson–Hasselbalch essa condição corresponde a
.