Qual será o pH , se 0,100 \mathrm{~mol} de um ácido HA ( \operatorname{com~} \mathrm{pK}_{\mathrm{a}}=2,00 ) e 0,0100 \mathrm{~mol} da sua base conjugada \mathrm{A}^{-}são dissolvidos em água, completando-se o volume até 1,00 \mathrm{~L} de solução? Resp.: pH =1.

Passo 1

O enunciado pergunta: “Qual será o pH da solução?” e dá os seguintes dados:
\text{moles de }HA = 0,100\\ \mathrm{mol},
\text{moles de }A^- = 0,0100\\ \mathrm{mol},
\text{volume final} = 1,00\\ \mathrm{L},
\mathrm{p}K_a = 2,00.
Portanto precisamos calcular o pH da solução resultante ao dissolver essas quantidades e completar para 1,00\\ \mathrm{L}.

Passo 2

Conceitos que vamos usar (explicação didática):
  • O equilíbrio de ionização do ácido fraco HA é
HA \rightleftharpoons H^+ + A^-.
  • A constante de acidez \,K_a é definida por
K_a=\frac{[H^+][A^-]}{[HA]}.
Aqui [H^+] é a concentração dos íons hidrogênio em mol·L^{-1}, [A^-] a concentração da base conjugada e [HA] a concentração do ácido não dissociado, todas no equilíbrio.
  • Relação entre pK_a e K_a:
pK_a = -\log K_a \quad\Rightarrow\quad K_a = 10^{-pK_a}.
  • A fórmula de Henderson–Hasselbalch (derivada de K_a) dá uma relação prática entre pH, pK_a e a razão das concentrações de base/ácido:
\text{pH} = pK_a + \log\!\left(\frac{[A^-]}{[HA]}\right).
Derivação curta (para fixar): partindo de K_a=\dfrac{[H^+][A^-]}{[HA]}, isolamos [H^+]=K_a\frac{[HA]}{[A^-]} e aplicamos -\log dos dois lados para obter a fórmula acima. Aqui é importante entender que [A^-] e [HA] devem ser as concentrações no equilíbrio.

Passo 3

Calculemos as concentrações iniciais (moles/volume):
[HA]_0=\frac{0,100\\ \mathrm{mol}}{1,00\\ \mathrm{L}}=0,100\\ \mathrm{M},
[A^-]_0=\frac{0,0100\\ \mathrm{mol}}{1,00\\ \mathrm{L}}=0,0100\\ \mathrm{M}.
Essas são as concentrações imediatamente após dissolver as espécies, antes de qualquer ajuste fino de equilíbrio.

Passo 4

Aplicando a fórmula de Henderson–Hasselbalch usando as concentrações acima (isto é a aproximação comum, que assume que as concentrações iniciais são próximas das concentrações no equilíbrio):
\text{pH} = pK_a + \log\!\left(\frac{[A^-]_0}{[HA]_0}\right) =2{,}00+\log\!\left(\frac{0{,}0100}{0{,}100}\right).
Calcule a razão:
\frac{0{,}0100}{0{,}100}=0{,}10,
e
\log(0{,}10)=-1{,}00.
Logo, pela aproximação,
\text{pH} = 2{,}00 - 1{,}00 = 1{,}00.
Essa é a resposta que muitas vezes se obtém rapidamente em provas usando Henderson com as concentrações iniciais.

Passo 5

Verificação da validade da aproximação (vai ensinar como fazer a conta rigorosa):
A fórmula exata exige as concentrações no equilíbrio. Vamos fazer um cálculo de equilíbrio completo para checar se a aproximação é aceitável aqui.
Montamos um quadro ICE para a reação HA \rightleftharpoons H^+ + A^-:
  • Condições iniciais: [HA]_0=0{,}100, [A^-]_0=0{,}0100, [H^+]_0\approx 0 (água pura dá 10^{-7} M, desprezível aqui).
  • Suponha que x mol·L^{-1} de HA se dissociem. Então no equilíbrio:
[HA]=0{,}100 - x,\quad [A^-]=0{,}0100 + x,\quad [H^+]=x.
Sabemos que K_a=10^{-pK_a}=10^{-2}=0{,}01. Substituindo em
K_a=\frac{[H^+][A^-]}{[HA]}
temos
0{,}01=\frac{x(0{,}0100+x)}{0{,}100-x}.

Passo 6

Resolver a equação do equilíbrio (algebra passo a passo):
Multiplicando ambos os lados por (0{,}100-x):
0{,}01(0{,}100-x)=x(0{,}0100+x).
Calcule o lado esquerdo:
0{,}001 - 0{,}01x = 0{,}0100x + x^2.
Reorganizando tudo à esquerda:
0 = x^2 + 0{,}0100x + 0{,}01x - 0{,}001
0 = x^2 + 0{,}0200x - 0{,}001.
Portanto a equação quadrática é
x^2 + 0{,}0200x - 0{,}001 = 0.
Calcule o discriminante:
\Delta = (0{,}0200)^2 - 4\cdot 1 \cdot (-0{,}001) = 0{,}0004 + 0{,}004 = 0{,}0044.
Raiz quadrada:
\sqrt{\Delta} \approx 0{,}0663325.
A solução fisicamente aceitável (raiz positiva) é
x=\frac{-0{,}0200 + \sqrt{\Delta}}{2} =\frac{-0{,}0200 + 0{,}0663325}{2}=0{,}023166\\ \mathrm{M}.

Passo 7

Calcule o pH exato com esse x:
[H^+] = x \approx 0{,}023166\\ \mathrm{M},
\text{pH} = -\log[H^+] = -\log(0{,}023166)\approx 1{,}635.
Arredondando razoavelmente:
\text{pH} \approx 1{,}64.

Passo 8

Interpretação e comparação:
  • A aproximação via Henderson usando as concentrações iniciais deu \text{pH}=1{,}00.
  • O cálculo rigoroso de equilíbrio dá \text{pH}\approx 1{,}64.
    A diferença é grande (≈0,64 unidades de pH), o que mostra que a aproximação não é válida neste caso porque a mudança x não é negligenciável em relação às concentrações iniciais (especialmente em relação a [A^-]_0). Sempre que K_a e as concentrações forem tais que a dissociação alterar significativamente as concentrações iniciais, é preciso resolver a equação do equilíbrio.

Resposta

pH = 1,64

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