8 Qual é a capacitância de um capacitor de placas paralelas circulares, com 5 cm de raio, separadas de 1 cm ?

Passo 1

O enunciado pede a capacitância de um capacitor de placas paralelas circulares cujos dados são:
  • raio das placas: r=5\\ \text{cm};
  • separação entre as placas: d=1\\ \text{cm}.
O que se quer: encontrar a capacitância C em Farads.

Passo 2

Fórmula básica (modelo de capacitor de placas paralelas, desprezando as bordas):
C=\varepsilon_0\frac{A}{d},
onde:
  • \varepsilon_0 é a permissividade elétrica do vácuo (constante), numericamente \varepsilon_0\approx8,854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m};
  • A é a área de uma das placas (para placas circulares, A=\pi r^2);
  • d é a distância entre as placas.
Explicando de leve: a fórmula diz que a capacitância cresce com a área das placas (mais superfície para “armazenar” carga) e diminui com a distância entre elas (quanto mais longe, menos acoplamento elétrico). A constante \varepsilon_0 converte as unidades e vem da lei de Coulomb / equações de Maxwell.

Passo 3

Converter unidades para o SI (metro):
r=5\\ \text{cm}=0,05\\ \mathrm{m},\qquad d=1\\ \text{cm}=0,01\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular a área de uma placa circular:
A=\pi r^2=\pi(0,05)^2=\pi\cdot0,0025\approx0,0078539816\\ \mathrm{m}^2.

Passo 5

Calcular a razão A/d:
\frac{A}{d}\approx\frac{0,0078539816}{0,01}=0,78539816\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Substituir na fórmula e calcular C:
C=\varepsilon_0\frac{A}{d}\approx\bigl(8,854187817\times10^{-12}\bigr)\cdot0,78539816\approx6,953\times10^{-12}\\ \mathrm{F}.
Em unidades mais usuais para capacitores pequenos:
6,953\times10^{-12}\\ \mathrm{F}=6,953\\ \mathrm{pF}\\ (\text{picofarads}).
Observação rápida: este valor foi obtido pelo modelo ideal de placas paralelas, que despreza efeitos de franja nas bordas; para placas muito próximas e de dimensões relativamente pequenas esses efeitos são pequenos, então o valor acima é uma boa estimativa.

Resposta

\;C\approx6,95\times10^{-12}\\ \mathrm{F}=6,95\\ \mathrm{pF}

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