12 A densidade de corrente em um fio cilíndrico de raio \mathrm{R}=2,0 \mathrm{~mm} é uniforme ao longo de uma seção reta do fio e igual a 2,0 \times 10^{5} \mathrm{~A} / \mathrm{m}^{2}. Qual é a corrente na parte externa do fio, entre as distâncias radiais R/2 e R? Suponha, agora, que em vez de ser uniforme, a densidade de corrente varia com a distância radial r de acordo com a equação \mathrm{J}= a \mathrm{r}^{2}, onde \mathrm{a}=3,0 \times 10^{11} \mathrm{~A} / \mathrm{m}^{4} e r está em metros. Nesse caso, qual é a corrente na mesma parte do fio?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei estes números do enunciado):
  • Raio externo do fio: R = 2{,}0\\ \mathrm{mm} = 2{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Regime 1: densidade de corrente uniforme: J = 2{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{A/m^{2}}.
  • Regime 2: densidade de corrente dependente de r: J(r)=a\,r^{2}, com a = 3{,}0\times10^{11}\\ \mathrm{A/m^{4}} e r em metros.
  • Pedem a corrente na parte externa do fio, ou seja, na região anular entre as distâncias radiais \dfrac{R}{2} e R.
O enunciado faz duas perguntas separadas:
  1. Qual é a corrente na região \dfrac{R}{2}\le r\le R quando J é uniforme?
  2. Qual é a corrente na mesma região quando J(r)=a r^{2}?

Passo 2

Entendendo a relação entre densidade de corrente e corrente total (aquela “aula rápida” necessária para a prova).
  • A densidade de corrente \,J\,(r)\, é corrente por unidade de área (unidade \mathrm{A/m^{2}}).
  • Para uma seção transversal circular, a corrente que atravessa uma pequena corona (anel) de raio r e espessura dr é
dI = J(r)\,dA,
onde o elemento de área do anel é
dA = 2\pi r\,dr.
  • Portanto, a corrente total que atravessa a região entre r=r_1 e r=r_2 é
I=\int_{r_1}^{r_2} J(r)\,2\pi r\,dr.
Essa fórmula é central: integrate J(r) multiplicada pela área de cada anel 2\pi r\,dr. Na prova, quando ver “corrente em uma faixa radial”, lembre-se sempre desse integral (ou, no caso uniforme, da versão I=J\times área).

Passo 3

Caso 1 — densidade de corrente uniforme. Aqui \,J(r)=J= constante.
  • Substituindo na fórmula:
I = \int_{R/2}^{R} J\cdot 2\pi r\,dr = 2\pi J \int_{R/2}^{R} r\,dr.
  • Calcule a integral:
\int r\,dr = \frac{r^{2}}{2},
portanto
I = 2\pi J \left[\frac{r^{2}}{2}\right]_{R/2}^{R} = \pi J\left(R^{2} - \left(\frac{R}{2}\right)^{2}\right).
  • Simplificando o fator da diferença de quadrados:
R^{2} - \left(\frac{R}{2}\right)^{2} = R^{2}\left(1 - \frac{1}{4}\right) = \frac{3}{4}R^{2}.
  • Logo, expressão final simbólica para o caso uniforme:
I = \pi J \cdot \frac{3}{4}R^{2} = \frac{3\pi}{4}\,J\,R^{2}.

Passo 4

Caso 1 — avaliação numérica (fazendo as contas passo a passo, sem pular etapas):
  • Primeiro calcule R^{2}:
R = 2{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}\quad\Rightarrow\quad R^{2} = (2{,}0\times10^{-3})^{2} = 4{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Agora substitua em I = \dfrac{3\pi}{4} J R^{2} com J = 2{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{A/m^{2}}:
I = \frac{3\pi}{4}\cdot(2{,}0\times10^{5})\cdot(4{,}0\times10^{-6}).
  • Simplifique passo a passo:
(2{,}0\times10^{5})\cdot(4{,}0\times10^{-6}) = 8{,}0\times10^{-1} = 0{,}8.
Então
I = \frac{3\pi}{4}\times 0{,}8 = 0{,}6\pi.
  • Calculando numericamente 0{,}6\pi:
I \approx 0{,}6\times 3{,}14159265 \approx 1{,}88496\\ \mathrm{A}.

Passo 5

Caso 2 — densidade de corrente variável J(r)=a\,r^{2}. Montando o integral:
  • Usando a fórmula geral:
I = \int_{R/2}^{R} a\,r^{2}\cdot 2\pi r\,dr = 2\pi a \int_{R/2}^{R} r^{3}\,dr.
  • Calcule a integral:
\int r^{3}\,dr = \frac{r^{4}}{4},
logo
I = 2\pi a \left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{R/2}^{R} = \frac{\pi a}{2}\left(R^{4} - \left(\frac{R}{2}\right)^{4}\right).
  • Simplifique a diferença:
\left(\frac{R}{2}\right)^{4} = \frac{R^{4}}{16}, \qquad R^{4}-\frac{R^{4}}{16}=R^{4}\left(1-\frac{1}{16}\right)=\frac{15}{16}R^{4}.
  • Portanto a forma simples:
I = \frac{\pi a}{2}\cdot\frac{15}{16}R^{4} = \pi a R^{4}\cdot\frac{15}{32}.

Passo 6

Caso 2 — avaliação numérica detalhada:
  • Calcule R^{4}:
R^{2} = 4{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}}\quad\Rightarrow\quad R^{4} = (R^{2})^{2} = (4{,}0\times10^{-6})^{2} = 16{,}0\times10^{-12} = 1{,}6\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{4}}.
  • Calcule a R^{4} com a=3{,}0\times10^{11}\\ \mathrm{A/m^{4}}:
aR^{4} = (3{,}0\times10^{11})\cdot(1{,}6\times10^{-11}) = 4{,}8.
  • Agora use a fórmula I = \pi a R^{4}\cdot\dfrac{15}{32}:
I = 4{,}8\cdot\pi\cdot\frac{15}{32}.
  • Calcule \dfrac{15}{32} = 0{,}46875. Então
4{,}8\times 0{,}46875 = 2{,}25.
  • Finalmente
I = 2{,}25\pi \approx 2{,}25\times 3{,}14159265 \approx 7{,}06858\\ \mathrm{A}.

Passo 7

Resumo rápido e uma dica para a prova (motivacional):
  • No caso uniforme, usa-se I=J\cdot área do anel; para J(r) variável, monta-se o integral \displaystyle I=\int J(r)\,2\pi r\,dr.
  • Se o enunciado der funções de r, sempre pense em integrar sobre anéis circulares; isso simplifica muito. Você está indo bem — respira fundo e pratica mais alguns exercícios parecidos que ficam na sua mão na prova.

Resposta

I_{\text{uniforme}} = 1{,}885\\ \mathrm{A}
I_{J=ar^{2}} = 7{,}069\\ \mathrm{A}

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