12 A densidade de corrente em um fio cilíndrico de raio
é uniforme ao longo de uma seção reta do fio e igual a
. Qual é a corrente na parte externa do fio, entre as distâncias radiais R/2 e R? Suponha, agora, que em vez de ser uniforme, a densidade de corrente varia com a distância radial r de acordo com a equação
a
, onde
e r está em metros. Nesse caso, qual é a corrente na mesma parte do fio?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei estes números do enunciado):
- Raio externo do fio:
- Regime 1: densidade de corrente uniforme:
. - Regime 2: densidade de corrente dependente de
: , com e em metros. - Pedem a corrente na parte externa do fio, ou seja, na região anular entre as distâncias radiais
e .
O enunciado faz duas perguntas separadas:
- Qual é a corrente na região
quando é uniforme? - Qual é a corrente na mesma região quando
?
Passo 2
Entendendo a relação entre densidade de corrente e corrente total (aquela “aula rápida” necessária para a prova).
- A densidade de corrente
é corrente por unidade de área (unidade ). - Para uma seção transversal circular, a corrente que atravessa uma pequena corona (anel) de raio
e espessura é
onde o elemento de área do anel é
- Portanto, a corrente total que atravessa a região entre
e é
Essa fórmula é central: integrate
multiplicada pela área de cada anel
. Na prova, quando ver “corrente em uma faixa radial”, lembre-se sempre desse integral (ou, no caso uniforme, da versão
área).
Passo 3
Caso 1 — densidade de corrente uniforme. Aqui
constante.
- Substituindo na fórmula:
- Calcule a integral:
portanto
- Simplificando o fator da diferença de quadrados:
- Logo, expressão final simbólica para o caso uniforme:
Passo 4
Caso 1 — avaliação numérica (fazendo as contas passo a passo, sem pular etapas):
- Primeiro calcule
:
- Agora substitua em
com :
- Simplifique passo a passo:
Então
- Calculando numericamente
:
Passo 5
Caso 2 — densidade de corrente variável
. Montando o integral:
- Usando a fórmula geral:
- Calcule a integral:
logo
- Simplifique a diferença:
- Portanto a forma simples:
Passo 6
Caso 2 — avaliação numérica detalhada:
- Calcule
:
- Calcule
com :
- Agora use a fórmula
:
- Calcule
. Então
- Finalmente
Passo 7
Resumo rápido e uma dica para a prova (motivacional):
- No caso uniforme, usa-se
área do anel; para variável, monta-se o integral . - Se o enunciado der funções de
, sempre pense em integrar sobre anéis circulares; isso simplifica muito. Você está indo bem — respira fundo e pratica mais alguns exercícios parecidos que ficam na sua mão na prova.