Qual é a capacitância de uma gota esférica formada pela fusão de outras quatro gotas esféricas de mercúrio cada uma com 4 milimetros de raio? A constante de permissividade do vácuo é dada por epsilon0=8.85 times 10^-12 Nm^2 / C^2.

Passo 1

O enunciado diz que quatro gotas esféricas idênticas de mercúrio, cada uma de raio a=4:mm, se fundem formando uma só gota esférica. Queremos a capacitância dessa gota única, considerando que, para uma esfera isolada no vácuo, vale
C = 4pi,epsilon0,R,
onde R é o raio da gota final e epsilon0=8,85times10^-12:N,m^2/C^2. Para obter R, usaremos a conservação de volume.

Passo 2

O volume de cada gota inicial é
Vinicial = 43pi,a^3
Como são quatro gotas, o volume total antes da fusão é
Vtotal = 4 times 43pi,a^3 = 163pi,a^3
Esse deve ser igual ao volume da gota final de raio R:
Vfinal = 43pi,R^3

Passo 3

Igualando volumes,
43pi,R^3 = 163pi,a^3 Longrightarrow R^3 = 4,a^3 Longrightarrow R = araiz[,3]4
Substituindo a=4:mm=4,0times10^-3:m:
R = 4,0times10^-3,mtimes 4^1/3 approx 6,35times10^-3:m

Passo 4

Usando a fórmula da capacitância de uma esfera isolada,
C = 4pi,epsilon0,R = 4pi times 8,85times10^-12:F/mtimes 6,35times10^-3:m
Calculando numericamente:
C approx 7,06times10^-13:F ;approx;0,71:pF

Resposta

A capacitância da gota resultante é aproximadamente
C approx 7,1times10^-13:F

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