A função horária v(t) de uma partícula em movimento retilíneo é dada por: v=t^2-6 t^2+5, em unidades do Sistema Internacional (S.D). Em t=0 a partícula encontra-se na origem x=0. Nessas condições, determine: (a) a posição e a aceleração no instante t=4,0 s, (b) a velocidade média no intervalo de tempo de 1,0 a 5,0 s e (c) a aceleração média no intervalo de 1,0 a 5,0 s. (d) Caracterize o movimento como acelerado ou retardado para o intervalo de tempo 0<t<6.

Passo 1

O enunciado dá a função horária da velocidade
v(t)=t^2-6t+5
com x(0)=0. Queremos:
(a) a posição x(4) e a aceleração a(4),
(b) a velocidade média de t=1 a t=5,
(c) a aceleração média de t=1 a t=5,
(d) caracterizar o movimento em 0<t<6.
Em movimento retilíneo, a posição é obtida integrando v(t) e a aceleração é a derivada de v(t).

Passo 2

Integramos v(t) para achar x(t):
x(t)=integrall(t^2-6t+5r),dt =t^33-3t^2+5t+C
Como x(0)=0, concluímos C=0, logo
x(t)=t^33-3t^2+5t
Derivando v(t) obtemos a aceleração:
a(t)=dvdt=2t-6

Passo 3

Em t=4 temos
x(4)=4^33-3cdot4^2+5cdot4 =643-48+20 =-203,m,
a(4)=2cdot4-6=2;m/s^2

Passo 4

A velocidade média de t1=1 a t2=5 é
bar v=x(5)-x(1)5-1
Calculando
x(1)=13-3+5=73, x(5)=1253-75+25=-253,
bar v=-tfrac253-tfrac734 =-32/34=-83;m/s

Passo 5

A aceleração média é
bar a=v(5)-v(1)5-1
Como
v(1)=1-6+5=0, v(5)=25-30+5=0,
vem
bar a=0-04=0;m/s^2

Passo 6

Para caracterizar se o movimento está acelerado ou retardado, comparamos o sinal de v(t) e de a(t)=2t-6.
As raízes são v(t)=0 em t=1,5 e a(t)=0 em t=3.
  • Em 0<t<1: v>0, a<0 ⇒ retardado.
  • Em 1<t<3: v<0, a<0 ⇒ acelerado.
  • Em 3<t<5: v<0, a>0 ⇒ retardado.
  • Em 5<t<6: v>0, a>0 ⇒ acelerado.

Resposta

(a) x(4)=-tfrac203,m, ;a(4)=2,m/s^2
(b) bar v=-tfrac83,m/s
(c) bar a=0,m/s^2
(d) Retardado em 0<t<1 e 3<t<5; acelerado em 1<t<3 e 5<t<6.

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