(Capacitância - similar) Mesmo capacitor, agora totalmente preenchido por dielétrico com constante k_{e}=3,0. Encontre C e Q a 12 V .

Passo 1

O enunciado (curto) nos dá as seguintes informações e pede coisas claras:
  • O capacitor em questão é o “mesmo capacitor” de um exercício anterior (o enunciado não me passou aqui os valores geométricos nem a capacitância inicial). Vou chamar a capacitância do capacitor sem dielétrico de \,C_0.
  • O capacitor agora está totalmente preenchido por um dielétrico com constante dielétrica \,k_{e}=3{,}0.
  • O capacitor está ligado a uma fonte que mantém a tensão em \,12\\ \text{V} (vou representar a tensão por \,V=12\\ \text{V}).
  • O que pedem: encontrar a nova capacitância \,C e a carga \,Q quando a tensão vale \,12\\ \text{V}.
Observação importante (tirada do enunciado): como não foram fornecidos valores numéricos para área, separação ou para \,C_0, a solução será dada em termos de \,C_0 (e, quando útil, em termos de geometria \,A e \,d). Se você tiver os valores de \,C_0 ou de \,A e \,d, basta substituir no final para obter números.

Passo 2

Conceito físico e fórmula chave: o que faz o dielétrico aumentar a capacitância?
  • Um dielétrico aumenta a permissividade do meio entre as placas. A permissividade do vácuo é \,\varepsilon_0. Com dielétrico homogêneo de constante dielétrica \,k_{e}, a permissividade efetiva fica
\varepsilon = k_{e}\,\varepsilon_0.
Expliquei: \varepsilon é a capacidade do material de permitir campo elétrico; \varepsilon_0 é esse valor no vácuo; multiplicar por \,k_{e} é a forma como o dielétrico modifica essa capacidade.
Para um capacitor de placas paralelas (o caso mais comum), a fórmula da capacitância é
C=\frac{\varepsilon A}{d},
onde:
  • \,C é a capacitância (em farads),
  • \,\varepsilon é a permissividade do meio entre as placas (em \text{F/m}),
  • \,A é a área das placas (em \text{m}^2),
  • \,d é a separação entre as placas (em m).
Se o capacitor original (sem dielétrico) tinha capacitância
C_0=\frac{\varepsilon_0 A}{d},
então com o dielétrico inteiro preenchendo o espaço entre as placas substituímos \varepsilon_0 por k_{e}\varepsilon_0.

Passo 3

Derivação direta da nova capacitância em termos de \,C_0:
  • Substituindo \varepsilon=k_{e}\varepsilon_0 em \,C=\varepsilon A/d, obtemos
C=\frac{k_{e}\varepsilon_0 A}{d}.
  • Como \,C_0=\dfrac{\varepsilon_0 A}{d}, basta comparar as duas expressões para concluir
C = k_{e}\,C_0.
Expliquei passo a passo: multiplicar a permissividade por \,k_{e} multiplica a capacitância por \,k_{e}. Com números: aqui k_{e}=3{,}0, então
C = 3{,}0\;C_0.

Passo 4

Como achar a carga \,Q quando a tensão é \,V=12\\ \text{V}?
  • Regra básica de capacitor ligado a uma fonte: a carga na placa positiva é
Q = C\,V.
Expliquei as variáveis: \,Q é a carga (em coulombs), \,C é a capacitância (em farads), \,V é a diferença de potencial mantida pela fonte. Aqui a fonte fixa \,V=12\\ \text{V}, então substituímos o valor de \,C obtido no Passo 3:
Q = (k_{e} C_0)\,V.
Com k_{e}=3{,}0 e V=12\\ \text{V},
Q = 3{,}0\;C_0\cdot 12\\ \text{V} = 36\;C_0\\ \text{(unidade: coulomb se \(C_0\) estiver em farad)}.
Obs.: essa expressão está em termos de \,C_0. Se soubermos \,C_0 (por exemplo em farads), multiplique por 36 para obter \,Q em coulombs.

Passo 5

Caso você precise da expressão em termos de geometria ( A e d) e constantes:
  • Usando \,C=\dfrac{\varepsilon A}{d} e \varepsilon=k_{e}\varepsilon_0, temos
C=\frac{k_{e}\varepsilon_0 A}{d}.
  • A carga então é
Q = C V = \frac{k_{e}\varepsilon_0 A}{d}\,V.
Explicação prática: se o enunciado original desse A e d, você insere e calcula numericamente sem problemas usando \varepsilon_0\approx 8{,}85\times 10^{-12}\\ \text{F/m}.

Passo 6

Comentário físico e dica de prova (útil na hora da prova):
  • Se o dielétrico fosse inserido com o capacitor desconectado (isolado), a carga Q permaneceria a mesma e a tensão mudaria; mas aqui o enunciado dá \,V=12\\ \text{V}, o que indica que a fonte está conectada e mantém \,V fixo. Por isso usamos Q=C V.
  • Em exercícios, quando virem “mesmo capacitor” e “agora totalmente preenchido”, sempre lembrar da regra simples:
C_{\text{com dielétrico}} = k_{e}\,C_{\text{sem dielétrico}}.éé
É uma das fórmulas que costumam aparecer direto na prova — decore e use rapidamente.

Resposta

C = k_{e}\,C_0 = 3{,}0\;C_0\n
Q = C\,V = k_{e}\,C_0\,V = 3{,}0\;C_0\cdot 12\\ \text{V} = 36\;C_0

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