(Dielétrico com fonte ligada) Um capacitor plano inicialmente no vácuo tem
. Introduz-se completamente um dielétrico de constante
mantendo
constante (fonte conectada). (a) Como variam
e
? (b) E a energia
? Resposta:
;
(aumenta).
Passo 1
O enunciado dá um capacitor plano inicialmente no vácuo com capacitância
. Introduz-se completamente um dielétrico com constante elétrica
mantendo a diferença de potencial
constante (fonte ligada). As perguntas são:
(a) Como variam e
?
(b) Como varia a energia armazenada ?
Informações úteis e iniciais que vamos usar: a capacitância inicial é , a carga inicial (com a mesma tensão
) é
e a energia inicial é
.
(a) Como variam
(b) Como varia a energia armazenada
Informações úteis e iniciais que vamos usar: a capacitância inicial é
Passo 2
Entender o que muda na capacitância ao inserir o dielétrico. Para um capacitor plano (placas paralelas) em vácuo a capacitância é proporcional à permissividade do meio entre as placas. Escrevendo a dependência geral:
onde
é a permissividade do meio,
é a área das placas e
é a separação entre elas. No vácuo
, então a capacitância inicial é
Quando inserimos totalmente um dielétrico com constante elétrica
, a permissividade passa a ser
. Portanto a nova capacitância é
Explicação didática: a constante
mede quanto o material aumenta a capacidade de armazenar campo elétrico (reduz o campo interno para uma mesma carga), e isso aparece multiplicando a capacitância por
.
Passo 3
Calcular a carga final sabendo que a fonte mantém
constante. A relação básica entre carga, capacitância e tensão é
Antes da inserção tínhamos
. Após inserir o dielétrico, com
, a carga final é
Interpretação: a fonte fornece carga extra para manter a tensão constante enquanto a capacitância aumenta.
Passo 4
Calcular a energia armazenada final. A fórmula da energia armazenada num capacitor mantido a tensão constante é
Substituindo
obtemos
Portanto a energia armazenada aumenta pelo mesmo fator
. Com
isso significa
.
Passo 5
Breve balanço energético (para entender de onde vem a energia extra). A bateria faz trabalho ao fornecer a carga adicional
. O trabalho da bateria é
A variação da energia armazenada é
Comparando, obtemos
Isso quer dizer que a bateria fornece o dobro do aumento de energia armazenada; a metade extra aparece como trabalho mecânico ligado ao movimento do dielétrico (o campo atrai o dielétrico para dentro). Se a inserção ocorrer espontaneamente, o dielétrico é puxado para dentro pelo campo e é possível extrair esse trabalho mecânico. Se um agente o inserir devagar, esse agente terá que absorver essa energia (ou seja, fará trabalho negativo).