(Dielétrico com fonte ligada) Um capacitor plano inicialmente no vácuo tem C_{0}. Introduz-se completamente um dielétrico de constante k_{e}=2,5 mantendo V constante (fonte conectada). (a) Como variam C e Q ? (b) E a energia U ? Resposta: C \rightarrow k_{e} C_{0}; Q=C V \rightarrow k_{e} Q_{0} ; U=\frac{1}{2} C V^{2} \rightarrow k_{e} U_{0} (aumenta).

Passo 1

O enunciado dá um capacitor plano inicialmente no vácuo com capacitância \;C_{0}\;. Introduz-se completamente um dielétrico com constante elétrica \;k_{e}=2{,}5\; mantendo a diferença de potencial \;V\; constante (fonte ligada). As perguntas são:
(a) Como variam \;C\; e \;Q\;?
(b) Como varia a energia armazenada \;U\;?
Informações úteis e iniciais que vamos usar: a capacitância inicial é \;C_{0}\;, a carga inicial (com a mesma tensão V) é \;Q_{0}=C_{0}V\; e a energia inicial é \;U_{0}=\tfrac{1}{2}C_{0}V^{2}.

Passo 2

Entender o que muda na capacitância ao inserir o dielétrico. Para um capacitor plano (placas paralelas) em vácuo a capacitância é proporcional à permissividade do meio entre as placas. Escrevendo a dependência geral:
C=\varepsilon\frac{A}{d}
onde \varepsilon é a permissividade do meio, A é a área das placas e d é a separação entre elas. No vácuo \varepsilon=\varepsilon_{0}, então a capacitância inicial é
C_{0}=\varepsilon_{0}\frac{A}{d}.
Quando inserimos totalmente um dielétrico com constante elétrica \;k_{e}, a permissividade passa a ser \varepsilon=k_{e}\varepsilon_{0}. Portanto a nova capacitância é
C = k_{e}\varepsilon_{0}\frac{A}{d} = k_{e} C_{0}.
Explicação didática: a constante k_{e} mede quanto o material aumenta a capacidade de armazenar campo elétrico (reduz o campo interno para uma mesma carga), e isso aparece multiplicando a capacitância por k_{e}.

Passo 3

Calcular a carga final sabendo que a fonte mantém \;V\; constante. A relação básica entre carga, capacitância e tensão é
Q = C\,V.
Antes da inserção tínhamos \;Q_{0}=C_{0}V\;. Após inserir o dielétrico, com C = k_{e} C_{0}, a carga final é
Q_{\text{f}} = C V = (k_{e} C_{0})V = k_{e} (C_{0}V) = k_{e} Q_{0}.
Interpretação: a fonte fornece carga extra para manter a tensão constante enquanto a capacitância aumenta.

Passo 4

Calcular a energia armazenada final. A fórmula da energia armazenada num capacitor mantido a tensão constante é
U=\tfrac{1}{2} C V^{2}.
Substituindo C = k_{e} C_{0} obtemos
U_{\text{f}} = \tfrac{1}{2} (k_{e} C_{0}) V^{2} = k_{e} \left(\tfrac{1}{2} C_{0} V^{2}\right) = k_{e} U_{0}.
Portanto a energia armazenada aumenta pelo mesmo fator k_{e}. Com k_{e}=2{,}5 isso significa U_{\text{f}}=2{,}5\,U_{0}.

Passo 5

Breve balanço energético (para entender de onde vem a energia extra). A bateria faz trabalho ao fornecer a carga adicional \Delta Q = Q_{\text{f}}-Q_{0}=(k_{e}-1)Q_{0}. O trabalho da bateria é
W_{\text{batt}}=\int V\,dQ = V\,\Delta Q = V (k_{e}-1)Q_{0}.
A variação da energia armazenada é
\Delta U = U_{\text{f}}-U_{0} = \tfrac{1}{2}(k_{e}-1)C_{0}V^{2} = \tfrac{1}{2}(k_{e}-1)Q_{0}V.
Comparando, obtemos
W_{\text{batt}} = 2\,\Delta U.
Isso quer dizer que a bateria fornece o dobro do aumento de energia armazenada; a metade extra aparece como trabalho mecânico ligado ao movimento do dielétrico (o campo atrai o dielétrico para dentro). Se a inserção ocorrer espontaneamente, o dielétrico é puxado para dentro pelo campo e é possível extrair esse trabalho mecânico. Se um agente o inserir devagar, esse agente terá que absorver essa energia (ou seja, fará trabalho negativo).

Resposta

C \rightarrow k_{e} C_{0}
Q \rightarrow k_{e} Q_{0}
U \rightarrow k_{e} U_{0} (aumenta)

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