(Capacitância) Um capacitor de placas paralelas com área A=0,020 \mathrm{~m}^{2} e separação d= 1,0 \mathrm{~mm} no vácuo. Calcule C e a carga quando ligado a V=12 \mathrm{~V}. Resposta: C=\varepsilon_{0} \frac{A}{d}= 8,85 \times 10^{-12} \frac{0,020}{1,0 \times 10^{-3}} \approx 1,77 \times 10^{-10} \mathrm{~F}=177 \mathrm{pF}. Q=C V \approx 2,1 \times 10^{-9} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a capacitância C de um capacitor de placas paralelas e a carga Q quando ligado a uma diferença de potencial V. As informações fornecidas são:
A=0,020\\ \mathrm{m}^2,\quad d=1,0\\ \mathrm{mm},\quad V=12\\ \mathrm{V}.
Também é sabido que o capacitor está no vácuo (ou ar, para efeitos práticos), logo vou usar a permissividade do vácuo:
\varepsilon_{0}=8,85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.

Passo 2

Verifico unidades para trabalhar de forma consistente: a área já está em \mathrm{m}^2, mas a separação está em milímetros. Converto \,d para metros:
d=1,0\\ \mathrm{mm}=1,0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Sempre converta tudo para unidades do SI (metro, coulomb, volt, farad) para evitar erro.

Passo 3

Apresento a fórmula que liga as grandezas e explico de onde ela vem (aula rápida, sem pular etapas):
  • A definição de capacitância é \;C=\dfrac{Q}{V}\;, onde Q é a carga em uma placa e V é a diferença de potencial entre as placas.
  • Entre placas paralelas, o campo elétrico uniforme vale \;E=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_{0}}\;, onde \sigma é a densidade de carga superficial ( \sigma=\dfrac{Q}{A}).
  • A diferença de potencial entre as placas, com campo uniforme, é \;V=E\,d\;.
    Substituindo E por \sigma/\varepsilon_{0} e \sigma por Q/A obtemos:
V=\frac{Q}{A\varepsilon_{0}}\,d.
Isolando C=Q/V dá:
C=\frac{Q}{V}=\frac{\varepsilon_{0}A}{d}.
Aqui cada símbolo significa:
C\\ \text{(capacitância, em F)},\quad \varepsilon_{0}\\ \text{(permissividade do vácuo, F/m)},\quad A\\ \text{(área da placa, m}^2\text{)},\quad d\\ \text{(separação, m)}.âááçã

Passo 4

Agora aplico a fórmula com os números dados. Substituindo:
C=\varepsilon_{0}\frac{A}{d}= \left(8,85\times10^{-12}\right)\frac{0,020}{1,0\times10^{-3}}\\ \mathrm{F}.
Faço as contas em passos pequenos e claros:
\varepsilon_{0}\cdot A = 8,85\times10^{-12}\times0,020 = 1,77\times10^{-13}.
Dividindo por d:
C=\frac{1,77\times10^{-13}}{1,0\times10^{-3}}=1,77\times10^{-10}\\ \mathrm{F}.
Para uma forma mais usual, converto para picofarads ( 1\\ \mathrm{pF}=10^{-12}\\ \mathrm{F}):
C=1,77\times10^{-10}\\ \mathrm{F}=177\\ \mathrm{pF}.

Passo 5

Agora calculo a carga quando o capacitor está ligado a V=12\\ \mathrm{V}. Uso \;Q=C\,V\;:
Q=(1,77\times10^{-10})\times12 = 2,124\times10^{-9}\\ \mathrm{C}.
Arredondando com números significativos coerentes (os dados têm 2 ou 3 algarismos), posso escrever
Q\approx2,12\times10^{-9}\\ \mathrm{C}\\ (\text{ou }2,1\times10^{-9}\\ \mathrm{C}).

Passo 6

Verificação rápida de ordem de grandeza e unidade: C em farads e V em volts dão Q em coulombs, está consistente. O valor C\sim10^{-10}\\ \mathrm{F} é típico para capacitores de placas relativamente pequenas e separação de ordem de milímetro.

Passo 7

Dicas para prova (curtas e práticas):
  • Decore a fórmula \;C=\varepsilon_{0}A/d\; para placas paralelas e saiba converter mm→m e cm2→m2 rapidamente.
  • Se pedirem apenas ordem de grandeza, faça os passos de multiplicar potências de 10 separadamente.
  • Se estiver sem calculadora, faça a conta em notação científica como eu fiz: multiplica coeficientes e soma/subtrai expoentes.

Resposta

C=1,77\times10^{-10}\\ \mathrm{F}=177\\ \mathrm{pF}\n
Q=2,12\times10^{-9}\\ \mathrm{C}

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