Um capacitor de 2,00 mu F, inicialmente descarregado, é conectado em série a um resistor de 6,00 k Omega e a uma fonte de fem xi=90,0 V, com resistência interna desprezível. O circuito é conectado no instante t=0. No instante calculado na parte (b), qual é a taxa com a qual a energia elétrica está sendo dissipada no resistor?

Passo 1

Beleza, aqui o que rolou no enunciado é o seguinte:
– Temos um capacitor C = 2,00 μF inicialmente descarregado.
– Ele está em série com um resistor R = 6,00 kΩ e uma fonte de ξ = 90,0 V.
– Conectamos tudo em t = 0 e, lá na parte (b), você chegou a um instante de tempo que vou chamar de t_b (por exemplo, t_b = R C ln 2, caso você tenha pedido “quando a tensão do capacitor atinge metade da tensão da fonte”).
O assunto é descarga/carregamento RC e potência dissipada no resistor. Vamos usar:
  1. A corrente num circuito RC em carga:
    i(t) = (ξ/R)·e^{−t/(RC)}
  2. A potência dissipada no resistor:
    P_R(t) = i²(t)·R

Passo 2

Escrevendo primeiro i(t):
i(t) = \frac{ξ}{R},e^{-t/(RC)}
Isso vem da solução da equação diferencial de C em série com R, lembrando que inicialmente i(0) = ξ/R.

Passo 3

Agora a potência no resistor é
P_R(t) = i^2(t),R
Substituindo i(t):
P_R(t) = \Bigl(\frac{ξ}{R}e{-t/(RC)}\Bigr)2 ,R
= \frac{ξ2}{R};e{-2t/(RC)}

Passo 4

Na parte (b) você achou um tempo t_b. Por exemplo, se t_b = R,C \ln 2 (quando o capacitor atinge 45 V, metade de 90 V), então
e^{-2t_b/(RC)} = e^{-2\ln 2} = \frac1{2^2} = \frac14
Logo
P_R(t_b) = \frac{ξ^2}{R};\frac14

Passo 5

Basta agora colocar os números:
ξ = 90,0 V
R = 6,00 kΩ = 6 000 Ω
P_R(t_b) = \frac{(90,0)^2}{6 000};\frac14
= \frac{8 100}{6 000};\frac14
= 1{,}35;\times;0{,}25
= 0{,}3375;W

Resposta

A taxa de dissipação de energia no resistor, no instante t_b (onde t_b = R C ln 2 no exemplo), é
PR(tb)approx0,34;W

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