QUESTÃO#2: Para estimar a profundidade desconhecida de um poço, deixa-se cair do repouso uma pedra e marca-se o intervalo de tempo entre o momento em que a pedra é solta e aquele em que se ouve o som, ou seja; t0=t9+t5, onde t8 é o lempo de queda e ts é o tempo gasto por o som. Suponha que a velocidade do som seja 344,0 m / s e a aceleraçăo da gravidade local seja de 9,8 m / s^2. Faça os cálculos e marque a alternativa correta para: (i) Tempo de queda livre ( t ) para a pedra atingir o fundo do poço, se t0=1,5 s; (ii) velocidade (vy) em com que a pedra atinge o fundo do poço e (iii) profundidade (H) do poço.
(i) (1) t4=
(ii) vy=
(iii) H=

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente quer descobrir a profundidade de um poço usando o tempo total que leva para uma pedra cair e o som voltar. Vamos precisar das fórmulas de movimento uniformemente acelerado (para a pedra caindo) e da fórmula da velocidade para o som. As informações que temos são:
  • Tempo total ( t0) = 1,5 s
  • Velocidade do som ( vs) = 344,0 m/s
  • Aceleração da gravidade ( g) = 9,8 m/s²
Vamos calcular três coisas:
  1. Tempo de queda livre da pedra ( t)
  2. Velocidade com que a pedra atinge o fundo do poço ( vy)
  3. Profundidade do poço ( H)

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o tempo total ( t0) é a soma do tempo que a pedra leva para cair ( t) e do tempo que o som leva para subir de volta ( ts). Então:
t0 = t + ts
Queremos achar t, então precisamos expressar ts em termos de H.

Passo 3

Quando a pedra cai, ela percorre uma distância H com aceleração g. Usamos a fórmula do movimento uniformemente acelerado:
H = 12 g t^2
Podemos resolver essa equação para H depois, mas por enquanto, vamos manter essa relação.

Passo 4

Depois que a pedra atinge o fundo, o som precisa percorrer a distância H de volta até a gente. Sabemos que velocidade é distância dividida pelo tempo, então o tempo que o som leva para subir é:
ts = Hvs

Passo 5

Agora, vamos substituir ts na equação do tempo total:
t0 = t + Hvs
Mas ainda temos duas variáveis ( t e H). Precisamos relacionar H com t usando a equação do movimento que vimos antes.

Passo 6

Da equação do movimento:
H = 12 g t^2
Podemos substituir H na equação do tempo total:
t0 = t + 12 g t^2vs
Agora, temos uma equação com apenas uma variável, t, que podemos resolver.

Passo 7

Vamos substituir os valores conhecidos:
t0 = 1,5 , s
g = 9,8 , m/s^2
vs = 344,0 , m/s
Nossa equação fica:
1,5 = t + 0,5 times 9,8 times t^2344
Simplificando:
1,5 = t + 4,9 t^2344
1,5 = t + 0,014234 t^2

Passo 8

Essa é uma equação quadrática na forma:
0,014234 t^2 + t - 1,5 = 0
Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde:
  • a = 0,014234
  • b = 1
  • c = -1,5

Passo 9

Calculando o discriminante ( De):
De
De
De
De
Agora, calculamos t:
t = -1 pm raiz1,0854042 times 0,014234
t = -1 pm 1,04130,028468
Desconsideramos a solução negativa, então:
t = 0,04130,028468
t approx 1,45 , s

Passo 10

Agora que temos o tempo de queda livre ( t approx 1,45 , s), vamos calcular a velocidade com que a pedra atinge o fundo do poço usando a fórmula da velocidade final:
vy = g t
vy = 9,8 times 1,45
vy approx 14,21 , m/s

Passo 11

Finalmente, vamos calcular a profundidade do poço ( H) usando a equação do movimento:
H = 12 g t^2
H = 0,5 times 9,8 times (1,45)^2
H = 4,9 times 2,1025
H approx 10,3 , m

Resposta

(i) t = 1,45 , s
(ii) vy = 14,21 , m/s
(iii) H = 10,3 , m

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