QUESTÃO#2: Para estimar a profundidade desconhecida de um poço, deixa-se cair do repouso uma pedra e marca-se o intervalo de tempo entre o momento em que a pedra é solta e aquele em que se ouve o som, ou seja;
, onde
é o lempo de queda e ts é o tempo gasto por o som. Suponha que a velocidade do som seja
e a aceleraçăo da gravidade local seja de
. Faça os cálculos e marque a alternativa correta para: (i) Tempo de queda livre ( t ) para a pedra atingir o fundo do poço, se
; (ii) velocidade
em com que a pedra atinge o fundo do poço e (iii) profundidade
do poço.
(i) (1)
(ii)
(iii)
(i) (1)
(ii)
(iii)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente quer descobrir a profundidade de um poço usando o tempo total que leva para uma pedra cair e o som voltar. Vamos precisar das fórmulas de movimento uniformemente acelerado (para a pedra caindo) e da fórmula da velocidade para o som. As informações que temos são:
- Tempo total (
) = 1,5 s - Velocidade do som (
) = 344,0 m/s - Aceleração da gravidade (
) = 9,8 m/s²
Vamos calcular três coisas:
- Tempo de queda livre da pedra (
) - Velocidade com que a pedra atinge o fundo do poço (
) - Profundidade do poço (
)
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o tempo total (
) é a soma do tempo que a pedra leva para cair (
) e do tempo que o som leva para subir de volta (
). Então:
Queremos achar
, então precisamos expressar
em termos de
.
Passo 3
Quando a pedra cai, ela percorre uma distância
com aceleração
. Usamos a fórmula do movimento uniformemente acelerado:
Podemos resolver essa equação para
depois, mas por enquanto, vamos manter essa relação.
Passo 4
Depois que a pedra atinge o fundo, o som precisa percorrer a distância
de volta até a gente. Sabemos que velocidade é distância dividida pelo tempo, então o tempo que o som leva para subir é:
Passo 5
Agora, vamos substituir
na equação do tempo total:
Mas ainda temos duas variáveis (
e
). Precisamos relacionar
com
usando a equação do movimento que vimos antes.
Passo 6
Da equação do movimento:
Podemos substituir
na equação do tempo total:
Agora, temos uma equação com apenas uma variável,
, que podemos resolver.
Passo 7
Vamos substituir os valores conhecidos:
Nossa equação fica:
Simplificando:
Passo 8
Essa é uma equação quadrática na forma:
Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Onde:
Passo 9
Calculando o discriminante (
):
Agora, calculamos
:
Desconsideramos a solução negativa, então:
Passo 10
Agora que temos o tempo de queda livre (
), vamos calcular a velocidade com que a pedra atinge o fundo do poço usando a fórmula da velocidade final:
Passo 11
Finalmente, vamos calcular a profundidade do poço (
) usando a equação do movimento:
Resposta
(i)
(ii)
(iii)